A função indicada
é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial e uma solução conhecida:
- Equação:
. - Uma solução conhecida:
.
O que é pedido:
- Encontrar uma segunda solução
linearmente independente de usando o método de redução de ordem.
Passo 2
Ideia do método de redução de ordem (explicação didática).
- Quando temos uma solução
de uma equação linear homogênea de segunda ordem, podemos procurar a segunda solução na forma
onde
é uma função a determinar. A vantagem é que, ao inserir
na equação, o termo proporcional a
desaparece porque
já satisfaz a equação, reduzindo a ordem do problema: passa-se a resolver uma equação de ordem menor para
(normalmente uma equação de primeira ordem para
).
- Vamos aplicar isso passo a passo. Aqui
é uma função que multiplicará para gerar uma solução nova; não é uma constante.
Passo 3
Calcular derivadas de
e substituir na equação.
- Primeira e segunda derivadas:
- Substituindo em
:
- Como
é solução da equação, vale . Portanto os termos com se anulam, sobrando:
Passo 4
Reduzir a ordem definindo
e resolver a equação resultante.
- Defina
. Então e a equação fica:
- Esta é uma equação de primeira ordem para
. Podemos reescrevê-la como
- Integrando ambos os lados em
:
onde
é constante de integração. Exponenciando,
onde
é outra constante positiva ou negativa.
Passo 5
Obter
integrando
e escolher a constante conveniente.
- Lembrando
, temos
- Integrando:
- A constante
gera apenas múltiplos de quando formamos , por isso para obter uma segunda solução linearmente independente podemos escolher convenientemente e . Assim uma escolha prática é
- Logo a segunda solução pode ser tomada como
Esta é uma fórmula padrão do método (mostrada e justificada acima).
Passo 6
Aplicar a fórmula ao caso específico
.
- Calcule
:
- Integre:
- Tomando a constante de integração zero (ou absorvendo em constantes finais), temos
- Então
- Podemos multiplicar por qualquer constante não nula sem perder independência; portanto uma forma simples e habitual da segunda solução é
Passo 7
Verificar independência linear (breve justificativa).
- Calcule o Wronskiano de
e :
- Como o Wronskiano é diferente de zero, as funções são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções.