A função indicada y_{1}(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução y_{2}(x).
y^{\prime \prime}-25 y=0 ; \quad y_{1}=e^{5 x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial e uma solução conhecida:
  • Equação: y^{\prime\prime}-25y=0.
  • Uma solução conhecida: y_{1}(x)=e^{5x}.
O que é pedido:
  • Encontrar uma segunda solução y_{2}(x) linearmente independente de y_{1} usando o método de redução de ordem.

Passo 2

Ideia do método de redução de ordem (explicação didática).
  • Quando temos uma solução y_{1}(x) de uma equação linear homogênea de segunda ordem, podemos procurar a segunda solução na forma
y_{2}(x)=u(x)\,y_{1}(x),
onde u(x) é uma função a determinar. A vantagem é que, ao inserir y_{2}=u y_{1} na equação, o termo proporcional a u desaparece porque y_{1} já satisfaz a equação, reduzindo a ordem do problema: passa-se a resolver uma equação de ordem menor para u (normalmente uma equação de primeira ordem para u').
  • Vamos aplicar isso passo a passo. Aqui u é uma função que multiplicará y_{1} para gerar uma solução nova; não é uma constante.

Passo 3

Calcular derivadas de y_{2}=u y_{1} e substituir na equação.
  • Primeira e segunda derivadas:
y_{2}'=u' y_{1}+u y_{1}',
y_{2}''=u'' y_{1}+2u' y_{1}'+u y_{1}''.
  • Substituindo em y''-25y=0:
\bigl(u'' y_{1}+2u' y_{1}'+u y_{1}''\bigr)-25\bigl(u y_{1}\bigr)=0.
  • Como y_{1} é solução da equação, vale y_{1}''-25y_{1}=0. Portanto os termos com u se anulam, sobrando:
u'' y_{1}+2u' y_{1}'=0.

Passo 4

Reduzir a ordem definindo w=u' e resolver a equação resultante.
  • Defina w(x)=u'(x). Então u''=w' e a equação fica:
w' y_{1}+2w y_{1}'=0.
  • Esta é uma equação de primeira ordem para w. Podemos reescrevê-la como
\frac{w'}{w}=-2\frac{y_{1}'}{y_{1}}.
  • Integrando ambos os lados em x:
\ln|w|=-2\ln|y_{1}|+C,
onde C é constante de integração. Exponenciando,
w=C_{1}\,y_{1}^{-2},
onde C_{1}=e^{C} é outra constante positiva ou negativa.

Passo 5

Obter u integrando w e escolher a constante conveniente.
  • Lembrando w=u', temos
u'(x)=C_{1}\,y_{1}(x)^{-2}.
  • Integrando:
u(x)=C_{1}\int y_{1}(x)^{-2}\,dx + C_{2}.
  • A constante C_{2} gera apenas múltiplos de y_{1} quando formamos y_{2}=u y_{1}, por isso para obter uma segunda solução linearmente independente podemos escolher convenientemente C_{1}=1 e C_{2}=0. Assim uma escolha prática é
u(x)=\int y_{1}(x)^{-2}\,dx.
  • Logo a segunda solução pode ser tomada como
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int y_{1}(x)^{-2}\,dx.
Esta é uma fórmula padrão do método (mostrada e justificada acima).

Passo 6

Aplicar a fórmula ao caso específico y_{1}(x)=e^{5x}.
  • Calcule y_{1}^{-2}:
y_{1}(x)^{-2}=e^{-10x}.
  • Integre:
\int e^{-10x}\,dx = -\tfrac{1}{10}e^{-10x}+C.
  • Tomando a constante de integração zero (ou absorvendo em constantes finais), temos
u(x)=-\tfrac{1}{10}e^{-10x}.
  • Então
y_{2}(x)=y_{1}(x)\,u(x)=e^{5x}\left(-\tfrac{1}{10}e^{-10x}\right)=-\tfrac{1}{10}e^{-5x}.
  • Podemos multiplicar por qualquer constante não nula sem perder independência; portanto uma forma simples e habitual da segunda solução é
y_{2}(x)=e^{-5x}.

Passo 7

Verificar independência linear (breve justificativa).
  • Calcule o Wronskiano de y_{1}=e^{5x} e y_{2}=e^{-5x}:
W(y_{1},y_{2})= \begin{vmatrix} e^{5x} & e^{-5x} \\\\ 5e^{5x} & -5e^{-5x} \end{vmatrix} =e^{5x}(-5e^{-5x})-5e^{5x}e^{-5x}=-5-5=-10\neq0.
  • Como o Wronskiano é diferente de zero, as funções são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções.

Resposta

y_{2}(x)=e^{-5x}

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