A função indicada y_{1}(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução y_{2}(x).
x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-6 y=0 ; \quad y_{1}=x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
x^{2}y''+2x y'-6y=0
e informa uma solução conhecida y_{1}(x)=x^{2}.
O que se pede: encontrar uma segunda solução linearmente independente y_{2}(x) usando o método de redução de ordem.
Informações relevantes dadas:
  • A equação diferencial e seus coeficientes (peguei-os do enunciado).
  • Uma solução conhecida: y_{1}(x)=x^{2}.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0 é o primeiro passo técnico. Dividindo toda a equação por x^{2} (assumindo x\neq0),
y''+\frac{2}{x}y'-\frac{6}{x^{2}}y=0.
Aqui extraímos os coeficientes:
p(x)=\frac{2}{x},\qquad q(x)=-\frac{6}{x^{2}}.
Explicação breve: a forma padrão facilita aplicar a técnica geral de redução de ordem, porque isola os coeficientes p e q.

Passo 3

Ideia da redução de ordem (explicação didática): supondo que já se conhece uma solução y_{1}, procuramos outra solução da forma
y(x)=v(x)\,y_{1}(x),
onde v(x) é uma função desconhecida. A razão é que ao colocar essa forma na equação e aproveitar que y_{1} já satisfaz a equação, conseguimos reduzir o problema a uma equação de ordem inferior para v.

Passo 4

Calcular as derivadas de y=v y_{1}. Usando regra do produto:
y' = v' y_{1} + v y_{1}',
y'' = v'' y_{1} + 2 v' y_{1}' + v y_{1}''.
Vou manter v',v'' para as derivadas de v e y_{1}',y_{1}'' para as de y_{1}.

Passo 5

Substituir y,y',y'' na equação na forma padrão y''+p y' + q y=0:
v'' y_{1} + 2v' y_{1}'+ v y_{1}'' + p\big(v' y_{1} + v y_{1}'\big) + q\,v y_{1}=0.
Agrupando termos em v, v' e v'':
v'' y_{1} + v'\big(2y_{1}'+p y_{1}\big) + v\big(y_{1}'' + p y_{1}'+ q y_{1}\big)=0.
Como y_{1} é solução da equação, vale
y_{1}'' + p y_{1}'+ q y_{1}=0,
portanto o termo multiplicando v desaparece. Ficamos com
v'' y_{1} + v'\big(2y_{1}'+p y_{1}\big)=0.

Passo 6

Agora reduzimos a ordem definindo w=v'. Assim v''=w' e a equação vira uma equação de primeira ordem para w:
w' y_{1} + w\big(2y_{1}'+p y_{1}\big)=0.
Dividindo por y_{1} (assumindo y_{1}\neq0 onde faz sentido),
w' + w\left(2\frac{y_{1}'}{y_{1}} + p\right)=0.
Esta é uma equação linear homogênea de primeira ordem para w.

Passo 7

Resolver a equação para w. Podemos escrever
\frac{w'}{w} = -\left(2\frac{y_{1}'}{y_{1}} + p\right).
Integrando ambos os lados:
\ln|w| = -\int\left(2\frac{y_{1}'}{y_{1}} + p\right)\,dx + C,
portanto
w = C\exp\!\Big(-\int\big(2\frac{y_{1}'}{y_{1}} + p\big)\,dx\Big).
Usando propriedades dos logaritmos e exponenciais, isso pode ser reescrito como
w = C\,y_{1}^{-2}\,e^{-\int p\,dx}.
Comentário: este passo é apenas manipulação de integrais e exponenciais, transformando a integral em um produto envolvendo y_{1} e p.

Passo 8

Aplicar os valores conhecidos: y_{1}(x)=x^{2} e p(x)=\dfrac{2}{x}.
Calcular y_{1}^{-2}:
y_{1}^{-2} = (x^{2})^{-2} = x^{-4}.
Calcular e^{-\int p\,dx}:
\int p\,dx = \int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln|x| \quad\Rightarrow\quad e^{-\int p\,dx}=e^{-2\ln|x|}=|x|^{-2}.
Para x\neq0 podemos tratar |x|^{-2}=x^{-2}. Logo
w = v' = C\,x^{-4}\cdot x^{-2}=C\,x^{-6}.

Passo 9

Integrar w para obter v:
v(x)=\int w\,dx = C\int x^{-6}\,dx = C\left(-\frac{1}{5}x^{-5}\right) + C_{1}.
Aqui C e C_{1} são constantes de integração. Lembrete importante: a parte C_{1} multiplicada por y_{1} produzirá uma combinação linear múltipla de y_{1} (isto é, C_{1}y_{1}), portanto não contribui para uma solução linearmente independente — podemos escolher C_{1}=0. Também podemos escolher a constante multiplicativa C convenientemente (soluções podem ser escaladas). Assim escolhemos C=1 e C_{1}=0 para obter uma forma simples para v:
v(x) = -\frac{1}{5}x^{-5}.

Passo 10

Construir y_{2}=v\,y_{1}:
y_{2}(x) = \left(-\frac{1}{5}x^{-5}\right)\cdot x^{2} = -\frac{1}{5}x^{-3}.
Como qualquer múltiplo constante de uma solução é também solução, podemos multiplicar por -5 e tomar a solução mais simples
y_{2}(x)=x^{-3}.
Verificação rápida (opcional mas tranquilizadora): calcular y=x^{-3}, então y'=-3x^{-4}, y''=12x^{-5}. Substituindo em x^{2}y''+2x y'-6y obtemos
x^{2}\cdot 12x^{-5} + 2x\cdot(-3x^{-4}) - 6x^{-3} = 12x^{-3}-6x^{-3}-6x^{-3} =0,
confirmando que y_{2}=x^{-3} de fato satisfaz a equação.

Resposta

y_{2}(x)=x^{-3}

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