A função indicada
é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
e informa uma solução conhecida
.
O que se pede: encontrar uma segunda solução linearmente independente usando o método de redução de ordem.
Informações relevantes dadas:
O que se pede: encontrar uma segunda solução linearmente independente
Informações relevantes dadas:
- A equação diferencial e seus coeficientes (peguei-os do enunciado).
- Uma solução conhecida:
.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
é o primeiro passo técnico. Dividindo toda a equação por
(assumindo
),
Aqui extraímos os coeficientes:
Explicação breve: a forma padrão facilita aplicar a técnica geral de redução de ordem, porque isola os coeficientes
e
.
Passo 3
Ideia da redução de ordem (explicação didática): supondo que já se conhece uma solução
, procuramos outra solução da forma
onde
é uma função desconhecida. A razão é que ao colocar essa forma na equação e aproveitar que
já satisfaz a equação, conseguimos reduzir o problema a uma equação de ordem inferior para
.
Passo 4
Calcular as derivadas de
. Usando regra do produto:
Vou manter
para as derivadas de
e
para as de
.
Passo 5
Substituir
na equação na forma padrão
:
Agrupando termos em
,
e
:
Como
é solução da equação, vale
portanto o termo multiplicando
desaparece. Ficamos com
Passo 6
Agora reduzimos a ordem definindo
. Assim
e a equação vira uma equação de primeira ordem para
:
Dividindo por
(assumindo
onde faz sentido),
Esta é uma equação linear homogênea de primeira ordem para
.
Passo 7
Resolver a equação para
. Podemos escrever
Integrando ambos os lados:
portanto
Usando propriedades dos logaritmos e exponenciais, isso pode ser reescrito como
Comentário: este passo é apenas manipulação de integrais e exponenciais, transformando a integral em um produto envolvendo
e
.
Passo 8
Aplicar os valores conhecidos:
e
.
Calcular :
Calcular
Calcular
:
Para
podemos tratar
. Logo
Passo 9
Integrar
para obter
:
Aqui
e
são constantes de integração. Lembrete importante: a parte
multiplicada por
produzirá uma combinação linear múltipla de
(isto é,
), portanto não contribui para uma solução linearmente independente — podemos escolher
. Também podemos escolher a constante multiplicativa
convenientemente (soluções podem ser escaladas). Assim escolhemos
e
para obter uma forma simples para
:
Passo 10
Construir
:
Como qualquer múltiplo constante de uma solução é também solução, podemos multiplicar por
e tomar a solução mais simples
Verificação rápida (opcional mas tranquilizadora): calcular
, então
,
. Substituindo em
obtemos
confirmando que
de fato satisfaz a equação.