A função indicada y_{1}(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução y_{2}(x). x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+5 y=0 ; \quad y_{1}=x^{2} \cos (\ln x)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma solução conhecida, e pede outra solução linearmente independente. Informações fornecidas:
Equação diferencial: x^{2}y''-3x y'+5y=0.
Uma solução conhecida: y_{1}(x)=x^{2}\cos(\ln x).
O que é pedido:
Encontrar uma segunda solução y_{2}(x) usando redução de ordem, ou seja uma solução que, junto com y_{1}, forme um conjunto fundamental de soluções.
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever a equação em forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0. Dividindo por x^{2} (assumindo x>0, compatível com \ln x) obtemos
y''-\frac{3}{x}y'+\frac{5}{x^{2}}y=0.
Portanto
P(x)=-\frac{3}{x},\qquad Q(x)=\frac{5}{x^{2}}.
Passo 3
Ideia da redução de ordem (explicada passo a passo): procurar uma solução da forma
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x),
onde v(x) é uma função a determinar. A motivação é que multiplicando uma solução conhecida por uma função escalar podemos obter uma nova solução; ao substituir no DE a ordem diminui porque termos com v aparecem multiplicando a combinação que já zera (pois y_{1} é solução).
Calculemos as derivadas necessárias. Seja y_{1}=y_{1}(x) e v=v(x). Então
y_{2}'=v' y_{1}+v y_{1}',
y_{2}''=v'' y_{1}+2v' y_{1}'+v y_{1}''.
Passo 4
Substituir y_{2},y_{2}',y_{2}'' na equação padrão y''+P y'+Q y=0. Obtemos
onde C_{1} é constante de integração. Como buscamos uma segunda solução qualquer (basta uma particular do v), podemos tomar C_{1}=1 para simplificar e encontrar uma primitiva explícita; constantes multiplicativas só introduzem combinações lineares já geradas por y_{1}.
Assim
v'(x)=w(x)=y_{1}(x)^{-2}\,e^{-\int P(x)\,dx}.
Passo 7
Agora aplicamos isso ao nosso P(x) e y_{1}(x). Já temos P(x)=-\dfrac{3}{x}, então