A função indicada y_{1}(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução y_{2}(x).
x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+5 y=0 ; \quad y_{1}=x^{2} \cos (\ln x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma solução conhecida, e pede outra solução linearmente independente. Informações fornecidas:
  • Equação diferencial: x^{2}y''-3x y'+5y=0.
  • Uma solução conhecida: y_{1}(x)=x^{2}\cos(\ln x).
    O que é pedido:
  • Encontrar uma segunda solução y_{2}(x) usando redução de ordem, ou seja uma solução que, junto com y_{1}, forme um conjunto fundamental de soluções.

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever a equação em forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0. Dividindo por x^{2} (assumindo x>0, compatível com \ln x) obtemos
y''-\frac{3}{x}y'+\frac{5}{x^{2}}y=0.
Portanto
P(x)=-\frac{3}{x},\qquad Q(x)=\frac{5}{x^{2}}.

Passo 3

Ideia da redução de ordem (explicada passo a passo): procurar uma solução da forma
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x),
onde v(x) é uma função a determinar. A motivação é que multiplicando uma solução conhecida por uma função escalar podemos obter uma nova solução; ao substituir no DE a ordem diminui porque termos com v aparecem multiplicando a combinação que já zera (pois y_{1} é solução).
Calculemos as derivadas necessárias. Seja y_{1}=y_{1}(x) e v=v(x). Então
y_{2}'=v' y_{1}+v y_{1}',
y_{2}''=v'' y_{1}+2v' y_{1}'+v y_{1}''.

Passo 4

Substituir y_{2},y_{2}',y_{2}'' na equação padrão y''+P y'+Q y=0. Obtemos
v'' y_{1}+2v' y_{1}'+v y_{1}''+P\bigl(v' y_{1}+v y_{1}'\bigr)+Q\,v y_{1}=0.
Agrupando os termos em v, v' e v'':
v\bigl(y_{1}''+P y_{1}'+Q y_{1}\bigr)+v'\bigl(2y_{1}'+P y_{1}\bigr)+v'' y_{1}=0.
Como y_{1} é solução da equação original, o parêntese do primeiro termo é zero. Logo sobra
v'' y_{1}+v'(2y_{1}'+P y_{1})=0.

Passo 5

Reduzir a ordem definindo w=v'. Assim w'=v'' e a equação fica de primeira ordem em w:
w' y_{1}+w(2y_{1}'+P y_{1})=0.
Dividindo por y_{1} (assumindo y_{1}\not\equiv0) obtemos uma equação linear em w:
w'+w\left(2\frac{y_{1}'}{y_{1}}+P\right)=0.
Essa é uma equação separável/linear para w. Podemos reescrever como
\frac{w'}{w}=-\left(2\frac{y_{1}'}{y_{1}}+P\right).

Passo 6

Integrando ambos os lados em x obtemos
\ln |w|=-2\ln|y_{1}|-\int P\,dx+C,
ou seja
w=C_{1}\,y_{1}^{-2}\,e^{-\int P\,dx},
onde C_{1} é constante de integração. Como buscamos uma segunda solução qualquer (basta uma particular do v), podemos tomar C_{1}=1 para simplificar e encontrar uma primitiva explícita; constantes multiplicativas só introduzem combinações lineares já geradas por y_{1}.
Assim
v'(x)=w(x)=y_{1}(x)^{-2}\,e^{-\int P(x)\,dx}.

Passo 7

Agora aplicamos isso ao nosso P(x) e y_{1}(x). Já temos P(x)=-\dfrac{3}{x}, então
\int P(x)\,dx=\int -\frac{3}{x}\,dx=-3\ln x,
portanto
e^{-\int P\,dx}=e^{3\ln x}=x^{3}.
Também temos y_{1}(x)=x^{2}\cos(\ln x), logo
y_{1}(x)^{2}=x^{4}\cos^{2}(\ln x).
Substituindo em v':
v'(x)=\frac{x^{3}}{x^{4}\cos^{2}(\ln x)}=\frac{1}{x\cos^{2}(\ln x)}.

Passo 8

Reconhecer a derivada de uma função conhecida: note que
\frac{d}{dx}\bigl(\tan(\ln x)\bigr)=\operatorname{sec}^{2}(\ln x)\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\operatorname{sec}^{2}(\ln x)=\frac{1}{x\cos^{2}(\ln x)}.
Portanto v'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(\tan(\ln x)\bigr). Integrando,
v(x)=\tan(\ln x)+C_{2}.
Podemos escolher C_{2}=0 para obter uma segunda solução simples (a adição de constante produziria uma combinação linear com y_{1}).

Passo 9

Com v(x)=\tan(\ln x) tomamos
y_{2}(x)=v(x)y_{1}(x)=\tan(\ln x)\cdot x^{2}\cos(\ln x).
Simplificando usando \tan(\theta)\cos(\theta)=\sin(\theta),
y_{2}(x)=x^{2}\sin(\ln x).

Passo 10

Verificação de independência linear (rápida): para confirmar que y_{2} não é múltiplo de y_{1}, calcule o Wronskiano
W(y_{1},y_{2})(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix}.
Com y_{1}=x^{2}\cos(\ln x) e y_{2}=x^{2}\sin(\ln x) obtém-se, após derivar e simplificar,
W(y_{1},y_{2})(x)=x^{3}\bigl(\cos^{2}(\ln x)+\sin^{2}(\ln x)\bigr)=x^{3}\neq0\\ \text{para }x>0,
logo são linearmente independentes no domínio x>0.

Resposta

y_{2}(x)=x^{2}\sin(\ln x)

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