A função indicada y_{1}(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução y_{2}(x). \left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}=0 ; \quad y_{1}=1
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
(1-x^{2})\,y''+2x\,y'=0
e uma solução conhecida y_{1}(x)=1. O que se pede é encontrar uma segunda solução y_{2}(x) linearmente independente de y_{1}. Informações relevantes fornecidas:
A equação é homogênea e de segunda ordem.
Uma solução particular é y_{1}=1.
É necessário obter outra solução y_{2} de modo que a base de soluções gerais seja formada por y_{1} e y_{2}.
Passo 2
Idéia da redução de ordem (explicação didática): quando já temos uma solução y_{1}, podemos procurar uma segunda solução da forma
y_{2}(x)=u(x)\,y_{1}(x),
onde u(x) é uma função a determinar. A razão é que ao reduzir a ordem com a substituição acima transformamos a equação de segunda ordem numa equação de primeira ordem para u', que costuma ser mais fácil de resolver.
Como aqui y_{1}(x)=1, essa substituição fica particularmente simples:
y(x)=u(x)\cdot 1 = u(x).
Portanto
y'=u',\qquad y''=u''.
Agora substituímos essas derivadas na equação dada.
Passo 3
Substituindo y'=u' e y''=u'' em
(1-x^{2})\,y''+2x\,y'=0
obtém-se a equação para u:
(1-x^{2})\,u''+2x\,u'=0.
Esta equação é de segunda ordem em u, mas depende apenas de u'. Para simplificar, fazemos a redução de ordem clássica definindo
p(x)=u'(x).
Então u''=p' e a equação torna-se uma equação de primeira ordem para p:
(1-x^{2})\,p'+2x\,p=0.
Passo 4
Resolver a equação de primeira ordem em p. Reescrevendo,
p'+\frac{2x}{1-x^{2}}\,p=0.
Esta é uma equação linear homogênea de coeficientes dependentes de x; também pode ser tratada como separável ao rearranjar:
Agora interpretamos as constantes: a parcela C_3 multiplica a solução y_{1}=1 (porque u=C_3 daria y=C_3\cdot1), então não gera uma nova solução linearmente independente. Para obter uma segunda solução independente basta escolher C_2=1 e C_3=0. Assim uma escolha conveniente é
y_{2}(x)=x-\tfrac{x^{3}}{3}.
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): calcular derivadas de y_{2},