A função indicada y_{1}(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução y_{2}(x).
\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}=0 ; \quad y_{1}=1

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
(1-x^{2})\,y''+2x\,y'=0
e uma solução conhecida y_{1}(x)=1. O que se pede é encontrar uma segunda solução y_{2}(x) linearmente independente de y_{1}. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é homogênea e de segunda ordem.
  • Uma solução particular é y_{1}=1.
  • É necessário obter outra solução y_{2} de modo que a base de soluções gerais seja formada por y_{1} e y_{2}.

Passo 2

Idéia da redução de ordem (explicação didática): quando já temos uma solução y_{1}, podemos procurar uma segunda solução da forma
y_{2}(x)=u(x)\,y_{1}(x),
onde u(x) é uma função a determinar. A razão é que ao reduzir a ordem com a substituição acima transformamos a equação de segunda ordem numa equação de primeira ordem para u', que costuma ser mais fácil de resolver.
Como aqui y_{1}(x)=1, essa substituição fica particularmente simples:
y(x)=u(x)\cdot 1 = u(x).
Portanto
y'=u',\qquad y''=u''.
Agora substituímos essas derivadas na equação dada.

Passo 3

Substituindo y'=u' e y''=u'' em
(1-x^{2})\,y''+2x\,y'=0
obtém-se a equação para u:
(1-x^{2})\,u''+2x\,u'=0.
Esta equação é de segunda ordem em u, mas depende apenas de u'. Para simplificar, fazemos a redução de ordem clássica definindo
p(x)=u'(x).
Então u''=p' e a equação torna-se uma equação de primeira ordem para p:
(1-x^{2})\,p'+2x\,p=0.

Passo 4

Resolver a equação de primeira ordem em p. Reescrevendo,
p'+\frac{2x}{1-x^{2}}\,p=0.
Esta é uma equação linear homogênea de coeficientes dependentes de x; também pode ser tratada como separável ao rearranjar:
\frac{p'}{p}=-\frac{2x}{1-x^{2}}.
Integramos ambos os lados em x:
\int\frac{p'}{p}\,dx=\int -\frac{2x}{1-x^{2}}\,dx.
No membro direito, fazemos a substituição t=1-x^{2}, então dt=-2x\,dx, e obtemos
\ln|p|=\ln|1-x^{2}|+C_1,
onde C_1 é constante de integração. Exponenciando,
p(x)=C_2\,(1-x^{2}),
com C_2=e^{C_1} constante.

Passo 5

Lembrando que p=u', temos
u'(x)=C_2\,(1-x^{2}).
Integramos para obter u:
u(x)=C_2\int(1-x^{2})\,dx=C_2\Bigl(x-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr)+C_3,
onde C_3 é outra constante de integração.
Agora interpretamos as constantes: a parcela C_3 multiplica a solução y_{1}=1 (porque u=C_3 daria y=C_3\cdot1), então não gera uma nova solução linearmente independente. Para obter uma segunda solução independente basta escolher C_2=1 e C_3=0. Assim uma escolha conveniente é
y_{2}(x)=x-\tfrac{x^{3}}{3}.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): calcular derivadas de y_{2},
y_{2}'=1-x^{2},\qquad y_{2}''=-2x.
Substituindo na equação original:
(1-x^{2})y_{2}''+2x y_{2}'=(1-x^{2})(-2x)+2x(1-x^{2})=0,
logo y_{2} satisfaz a equação, ou seja, é de fato uma solução. Para checar independência linear, calcular o Wronskiano com y_{1}=1:
W(y_{1},y_{2})=\begin{vmatrix}1 & x-\tfrac{x^{3}}{3}\\[4pt]0 & 1-x^{2}\end{vmatrix}=1-x^{2},
que é diferente de zero em intervalos que não contenham x=\pm1, mostrando independência em tais intervalos.]

Resposta

y_{2}(x)=x-\tfrac{x^{3}}{3}

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