A função indicada y_{1}(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use a redução de ordem ou a fórmula, para determinar uma segunda solução y_{2}(x). Determine a solução geral.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0 ; \quad y_{1}(x)=x e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem e informa uma solução conhecida. Pedimos duas coisas: encontrar uma segunda solução linearmente independente y_{2}(x) e escrever a solução geral da equação. Informações fornecidas:
y'' + 2y' + y = 0,
y_{1}(x)=x e^{-x}.
Nada mais é pedido além de usar redução de ordem ou a fórmula correspondente para obter y_{2} e a solução geral.

Passo 2

Vamos explicar a ideia da redução de ordem (aulas rápidas e práticas). Para uma equação linear homogênea de segunda ordem na forma padrão
y'' + p(x) y' + q(x) y = 0,
se já conhecemos uma solução y_{1}(x) então buscamos uma segunda solução da forma
y_{2}(x) = v(x)\,y_{1}(x),
onde v(x) é uma função a determinar. Essa escolha transforma a equação de segunda ordem numa equação de primeira ordem para v', porque ao substituir y_{2} na equação muitos termos se simplificam. Há também uma fórmula pronta e muito usada:
y_{2}(x) = y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx,
que vem exatamente dessa redução de ordem. Aqui p(x) é o coeficiente de y' na forma padrão, e a constante de integração pode ser ignorada porque multiplicações por constantes geram soluções dependentes linearmente.

Passo 3

Identificamos p(x) para a nossa equação e calculamos o fator que aparece na fórmula. Da equação dada temos
p(x)=2,\qquad q(x)=1.
Então
\int p(x)\,dx = \int 2\,dx = 2x,
e portanto
e^{-\int p(x)\,dx} = e^{-2x}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula diretamente com y_{1}(x)=x e^{-x}:
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx = x e^{-x}\int \frac{e^{-2x}}{\bigl(x e^{-x}\bigr)^{2}}\,dx.
Agora simplificamos o integrando. Observe que \bigl(x e^{-x}\bigr)^{2}=x^{2} e^{-2x}, logo
\frac{e^{-2x}}{(x e^{-x})^{2}}=\frac{e^{-2x}}{x^{2} e^{-2x}}=\frac{1}{x^{2}}.

Passo 5

Integramos o resultado simples:
\int \frac{1}{x^{2}}\,dx = \int x^{-2}\,dx = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x}+C.
Substituindo na expressão para y_{2} e desprezando a constante de integração (que só daria múltiplo de y_{1}),
y_{2}(x)=x e^{-x}\left(-\frac{1}{x}\right) = -e^{-x}.
Uma constante multiplicativa não muda o espaço de soluções independentemente linear, então podemos escolher a forma mais simples e positiva:
y_{2}(x)=e^{-x}.

Passo 6

Verificação rápida de independência linear (só para ficar seguro): o Wronskiano de y_{1}=x e^{-x} e y_{2}=e^{-x} é
W(y_{1},y_{2})(x)=\begin{vmatrix} x e^{-x} & e^{-x} \\\ (1-x)e^{-x} & -e^{-x} \end{vmatrix} = -e^{-2x}\neq 0
para todo x. Como o Wronskiano não é identicamente zero, as soluções são linearmente independentes, como queríamos.

Passo 7

Finalmente, escrevemos a solução geral da equação homogênea como combinação linear das duas soluções independentes encontradas:
y(x)=C_{1} e^{-x} + C_{2} x e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y_{2}(x)=e^{-x}\n y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}x e^{-x}

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