A função indicada y_{1}(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use a redução de ordem ou a fórmula, para determinar uma segunda solução y_{2}(x). Determine a solução geral. y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0 ; \quad y_{1}(x)=x e^{-x}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem e informa uma solução conhecida. Pedimos duas coisas: encontrar uma segunda solução linearmente independente y_{2}(x) e escrever a solução geral da equação. Informações fornecidas:
y'' + 2y' + y = 0,
y_{1}(x)=x e^{-x}.
Nada mais é pedido além de usar redução de ordem ou a fórmula correspondente para obter y_{2} e a solução geral.
Passo 2
Vamos explicar a ideia da redução de ordem (aulas rápidas e práticas). Para uma equação linear homogênea de segunda ordem na forma padrão
y'' + p(x) y' + q(x) y = 0,
se já conhecemos uma solução y_{1}(x) então buscamos uma segunda solução da forma
y_{2}(x) = v(x)\,y_{1}(x),
onde v(x) é uma função a determinar. Essa escolha transforma a equação de segunda ordem numa equação de primeira ordem para v', porque ao substituir y_{2} na equação muitos termos se simplificam. Há também uma fórmula pronta e muito usada:
que vem exatamente dessa redução de ordem. Aqui p(x) é o coeficiente de y' na forma padrão, e a constante de integração pode ser ignorada porque multiplicações por constantes geram soluções dependentes linearmente.
Passo 3
Identificamos p(x) para a nossa equação e calculamos o fator que aparece na fórmula. Da equação dada temos
p(x)=2,\qquad q(x)=1.
Então
\int p(x)\,dx = \int 2\,dx = 2x,
e portanto
e^{-\int p(x)\,dx} = e^{-2x}.
Passo 4
Aplicamos a fórmula diretamente com y_{1}(x)=x e^{-x}:
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx = x e^{-x}\int \frac{e^{-2x}}{\bigl(x e^{-x}\bigr)^{2}}\,dx.
Agora simplificamos o integrando. Observe que \bigl(x e^{-x}\bigr)^{2}=x^{2} e^{-2x}, logo