A função indicada y_{1}(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use a redução de ordem ou a fórmula, para determinar uma segunda solução y_{2}(x). Determine a solução geral.
y^{\prime \prime}+16 y=0 ; \quad y_{1}(x)=\cos (4 x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' + 16y = 0
e informa que y_{1}(x)=\cos(4x) é uma solução. O que se pede:
  1. Encontrar uma segunda solução y_{2}(x) linearmente independente de y_{1}.
  2. Determinar a solução geral da equação.
    Informações relevantes dadas: y_{1}(x)=\cos(4x) e a equação está na forma y''+16y=0.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de redução de ordem que dá uma segunda solução quando conhecemos y_{1}. Primeiro escrevemos a equação na forma padrão
y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0.
Aqui temos P(x)=0 e Q(x)=16 porque a equação é y''+16y=0. A fórmula para uma segunda solução é
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx.
Explicando a fórmula: y_{1}(x) é a solução conhecida; P(x) é o coeficiente de y' na forma padrão; o fator e^{-\int P} aparece ao reduzir a ordem através da substituição y=v\,y_{1}. Não preciso derivar a fórmula inteira aqui, mas é útil saber que ela vem de escolher y=v y_{1}, reduzir a equação para v' e integrar.

Passo 3

Como P(x)=0, temos e^{-\int P(x)\,dx}=1. Então
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{1}{y_{1}(x)^{2}}\,dx.
Substituindo y_{1}(x)=\cos(4x) obtemos
y_{2}(x)=\cos(4x)\int \frac{1}{\cos^{2}(4x)}\,dx =\cos(4x)\int \operatorname{sec}^{2}(4x)\,dx.

Passo 4

Calcule a integral \int \operatorname{sec}^{2}(4x)\,dx. Use a substituição u=4x, assim du=4\,dx e dx=\tfrac{1}{4}du. Então
\int \operatorname{sec}^{2}(4x)\,dx=\int \operatorname{sec}^{2}(u)\cdot \frac{1}{4}\,du=\frac{1}{4}\tan(u)+C=\frac{1}{4}\tan(4x)+C.
Portanto
y_{2}(x)=\cos(4x)\left(\frac{1}{4}\tan(4x)+C\right).
Multiplicando,
y_{2}(x)=\frac{1}{4}\cos(4x)\tan(4x)+C\cos(4x)=\frac{1}{4}\sin(4x)+C\cos(4x).
Como qualquer múltiplo de y_{1} pode ser absorvido na combinação linear da solução geral, podemos escolher a constante de integração C=0 e ainda multiplicar por uma constante arbitrária. Assim uma escolha simples e conveniente é
y_{2}(x)=\sin(4x).

Passo 5

Verificamos rapidamente que y_{2}(x)=\sin(4x) é linearmente independente de y_{1} calculando o Wronskiano:
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} \cos(4x) & \sin(4x)\\[4pt] -4\sin(4x) & 4\cos(4x) \end{vmatrix} =4\big(\cos^{2}(4x)+\sin^{2}(4x)\big)=4\neq 0.
Como o Wronskiano é não nulo, y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e geram o espaço de soluções.]

Passo 6

A solução geral de uma equação linear homogênea de segunda ordem é combinação linear das duas soluções linearmente independentes. Portanto a solução geral é
y(x)=C_{1}\cos(4x)+C_{2}\sin(4x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y_{2}(x)=\sin(4x)\n y(x)=C_{1}\cos(4x)+C_{2}\sin(4x)

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