A função indicada y_{1}(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use a redução de ordem ou a fórmula, para determinar uma segunda solução y_{2}(x). Determine a solução geral. y^{\prime \prime}+16 y=0 ; \quad y_{1}(x)=\cos (4 x)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
y'' + 16y = 0
e informa que y_{1}(x)=\cos(4x) é uma solução. O que se pede:
Encontrar uma segunda solução y_{2}(x) linearmente independente de y_{1}.
Determinar a solução geral da equação.
Informações relevantes dadas: y_{1}(x)=\cos(4x) e a equação está na forma y''+16y=0.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de redução de ordem que dá uma segunda solução quando conhecemos y_{1}. Primeiro escrevemos a equação na forma padrão
y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0.
Aqui temos P(x)=0 e Q(x)=16 porque a equação é y''+16y=0. A fórmula para uma segunda solução é
Explicando a fórmula: y_{1}(x) é a solução conhecida; P(x) é o coeficiente de y' na forma padrão; o fator e^{-\int P} aparece ao reduzir a ordem através da substituição y=v\,y_{1}. Não preciso derivar a fórmula inteira aqui, mas é útil saber que ela vem de escolher y=v y_{1}, reduzir a equação para v' e integrar.
Como qualquer múltiplo de y_{1} pode ser absorvido na combinação linear da solução geral, podemos escolher a constante de integração C=0 e ainda multiplicar por uma constante arbitrária. Assim uma escolha simples e conveniente é
y_{2}(x)=\sin(4x).
Passo 5
Verificamos rapidamente que y_{2}(x)=\sin(4x) é linearmente independente de y_{1} calculando o Wronskiano:
Como o Wronskiano é não nulo, y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e geram o espaço de soluções.]
Passo 6
A solução geral de uma equação linear homogênea de segunda ordem é combinação linear das duas soluções linearmente independentes. Portanto a solução geral é