A função indicada y_{1}(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use a redução de ordem ou a fórmula, para determinar uma segunda solução y_{2}(x). Determine a solução geral.
y^{\prime \prime}-25 y=0 ; \quad y_{1}(x)=e^{5 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''-25y=0
e informa que y_{1}(x)=e^{5x} é uma solução. Pede-se:
  • Determinar uma segunda solução y_{2}(x) linearmente independente de y_{1}.
  • Determinar a solução geral da equação.
Informações relevantes fornecidas:
\text{equação: }y''-25y=0,\qquad \text{solução conhecida: }y_{1}(x)=e^{5x}.çãçã

Passo 2

Vamos usar o método de redução de ordem. A ideia é buscar uma segunda solução da forma
y_{2}(x)=u(x)\,y_{1}(x),
onde u(x) é uma função a determinar. Aqui y_{1} é a solução dada e u é desconhecida. Explico os passos algébricos que vamos usar para encontrar u.

Passo 3

Calculemos as derivadas de y_{2}. Como y_{2}=u\,y_{1}, tem-se
y_{2}'=u' y_{1}+u y_{1}',
y_{2}''=u'' y_{1}+2u' y_{1}'+u y_{1}''.
Agora substituímos y_{2}, y_{2}' e y_{2}'' na equação diferencial y''-25y=0:
u'' y_{1}+2u' y_{1}'+u y_{1}''-25(u y_{1})=0.

Passo 4

Repare que y_{1} é solução da equação original, então satisfaz
y_{1}''-25y_{1}=0.
Logo os termos que envolvem u y_{1}''-25u y_{1} se anulam. Ficamos com
u'' y_{1}+2u' y_{1}'=0.
Essa é uma equação para u de ordem reduzida. Para simplificar, fazemos a substituição v=u'. Assim v'=u'' e a equação vira
v' y_{1}+2v y_{1}'=0.

Passo 5

A equação para v é linear de primeira ordem. Podemos reescrever como
\frac{v'}{v}=-2\frac{y_{1}'}{y_{1}}.
Isso é conveniente porque o lado direito é a derivada do logaritmo de y_{1}. Integrando ambos os lados:
\int \frac{v'}{v}\,dx = \int -2\frac{y_{1}'}{y_{1}}\,dx
\ln|v| = -2\ln|y_{1}| + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Exponenciando,
v = C\,y_{1}^{-2},
com C=e^{C_1}.

Passo 6

Voltando a u, lembramos que v=u'. Logo
u' = C\,y_{1}^{-2}.
Integramos para obter u:
u(x) = C\int y_{1}(x)^{-2}\,dx + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Consequentemente
y_{2}(x)=u(x)y_{1}(x)=y_{1}(x)\Big(C\int y_{1}(x)^{-2}\,dx + C_2\Big).
O termo C_2 y_{1}(x) é apenas um múltiplo de y_{1} (já conhecida), por isso, para obter uma segunda solução linearmente independente, podemos tomar C_2=0 e escolher C=1. Assim, uma forma prática é
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int y_{1}(x)^{-2}\,dx.
Essa é a fórmula padrão que aparece no método de redução de ordem.

Passo 7

Aplique agora com y_{1}(x)=e^{5x}. Calculamos
y_{1}(x)^{-2}=(e^{5x})^{-2}=e^{-10x}.
Então
\int y_{1}(x)^{-2}\,dx=\int e^{-10x}\,dx = -\tfrac{1}{10}e^{-10x}+K.
Escolhemos K=0 (constante que daria múltiplo de y_{1} depois), e então
y_{2}(x)=y_{1}(x)\Big(-\tfrac{1}{10}e^{-10x}\Big)= -\tfrac{1}{10}e^{5x}e^{-10x}=-\tfrac{1}{10}e^{-5x}.

Passo 8

Uma constante multiplicativa não altera a independência linear das soluções, por isso podemos multiplicar y_{2} por -10 para simplificar e tomar
y_{2}(x)=e^{-5x}.
Verificação rápida (opcional): substituindo y=e^{-5x} em y''-25y 25e^{-5x}-25e^{-5x}=0, então é solução.

Passo 9

Como temos duas soluções linearmente independentes y_{1}(x)=e^{5x} e y_{2}(x)=e^{-5x} de uma equação linear homogênea de segunda ordem, a solução geral é combinação linear:
y(x)=C_{1}e^{5x}+C_{2}e^{-5x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y_{2}(x)=e^{-5x}\n y(x)=C_{1}e^{5x}+C_{2}e^{-5x}

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