A função indicada
é uma solução da equação diferencial dada. Use a redução de ordem ou a fórmula, para determinar uma segunda solução
. Determine a solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e informa que
é uma solução. Pede-se:
- Determinar uma segunda solução
linearmente independente de . - Determinar a solução geral da equação.
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Vamos usar o método de redução de ordem. A ideia é buscar uma segunda solução da forma
onde
é uma função a determinar. Aqui
é a solução dada e
é desconhecida. Explico os passos algébricos que vamos usar para encontrar
.
Passo 3
Calculemos as derivadas de
. Como
, tem-se
Agora substituímos
,
e
na equação diferencial
:
Passo 4
Repare que
é solução da equação original, então satisfaz
Logo os termos que envolvem
se anulam. Ficamos com
Essa é uma equação para
de ordem reduzida. Para simplificar, fazemos a substituição
. Assim
e a equação vira
Passo 5
A equação para
é linear de primeira ordem. Podemos reescrever como
Isso é conveniente porque o lado direito é a derivada do logaritmo de
. Integrando ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando,
com
.
Passo 6
Voltando a
, lembramos que
. Logo
Integramos para obter
:
onde
é outra constante de integração. Consequentemente
O termo
é apenas um múltiplo de
(já conhecida), por isso, para obter uma segunda solução linearmente independente, podemos tomar
e escolher
. Assim, uma forma prática é
Essa é a fórmula padrão que aparece no método de redução de ordem.
Passo 7
Aplique agora com
. Calculamos
Então
Escolhemos
(constante que daria múltiplo de
depois), e então
Passo 8
Uma constante multiplicativa não altera a independência linear das soluções, por isso podemos multiplicar
por
para simplificar e tomar
Verificação rápida (opcional): substituindo
em
dá
, então é solução.
Passo 9
Como temos duas soluções linearmente independentes
e
de uma equação linear homogênea de segunda ordem, a solução geral é combinação linear:
onde
e
são constantes arbitrárias.