- (a) O que é uma função injetora? Como decidir, a partir de seu gráfico, se uma função é injetora?
(b) Se
é uma função injetora, como é definida a função inversa
? Como obter o gráfico
do gráfico de
?
(b) Se
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas claras:
- (a) O que é uma função injetora? Como decidir, a partir do seu gráfico, se uma função é injetora?
- (b) Se
é injetora, como é definida a função inversa ? Como obter o gráfico de a partir do gráfico de ?
Informações dadas (implícitas no enunciado):
- Temos uma função
com domínio e imagem bem definidos. - Na parte (b) assume-se que
é injetora (ou seja, cada valor da imagem vem de no máximo um ponto do domínio). - O enunciado pede definição formal, critério gráfico e procedimento para construir a inversa.
Passo 2
Definição formal e ideia intuitiva da injetividade.
Definição formal:
Explicando em palavras: não existem dois pontos distintos do domínio que produzam o mesmo valor na imagem. Ou seja, cada valor em
vem de no máximo um
.
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
- A função
é injetora porque se então . - A função
definida em não é injetora porque : dois distintos dão o mesmo valor.
Passo 3
Como decidir a injetividade a partir do gráfico — o “teste da linha horizontal” — e por que ele funciona.
Regra prática (teste da linha horizontal):
- Uma função representada por um gráfico é injetora se e somente se toda linha horizontal
intersecta o gráfico em no máximo um ponto.
Por que isso é verdade (explicação lógica):
- Se alguma linha
corta o gráfico em dois pontos e com , então com , logo não é injetora. - Se nenhuma linha horizontal corta o gráfico mais de uma vez, então não existem
com , logo é injetora.
Ilustrações mentais / exemplos:
- O gráfico de
(parábola) falha no teste: a linha intersecta em e . - O gráfico de
passa no teste: qualquer linha horizontal corta a reta em exatamente um ponto.
Dica prática na prova: ao olhar o gráfico, imagine deslocar uma régua horizontal — se ela tocar o gráfico mais de uma vez alguma vez, pronto: não é injetora.
Passo 4
Definição da função inversa
quando
é injetora; domínio e por que a inversa existe e é única.
Definição formal:
- Se
é injetora, então cada (imagem de ) tem exatamente um com . Define-se
por
Observações importantes:
- O domínio de
é (a imagem de ), não necessariamente todo o conjunto . Para que seja uma função de em é preciso que seja sobrejetora (bijetora). - A injetividade garante que, para cada
, existe um único a ser atribuído por , então a inversa é bem definida.
Exemplo algébrico passo a passo (como fazer na prova):
- Seja
com domínio . Para achar : - Escreva
. - Resolva para
: . - Troque símbolos (padronizar): então
- Escreva
- Conclusão:
está bem definida porque é injetora (e também sobrejetora aqui).
Passo 5
Como obter o gráfico de
a partir do gráfico de
— regra de troca de coordenadas e reflexão na reta
.
Regra geométrica:
- Se
é um ponto do gráfico de (ou seja, ), então é um ponto do gráfico de (pois ). - Geometricamente, isso significa que o gráfico de
é o reflexo do gráfico de em relação à reta
Por que refletir na reta
faz sentido:
- A reflexão troca as coordenadas
e . O gráfico de contém pares ; o gráfico de contém os pares .
Como aplicar na prática (passos na prova):
- Pegue pontos notáveis do gráfico de
(interseções com eixos, pontos marcados, vértices etc.). - Troque as coordenadas
para cada ponto. - Trace o conjunto desses pontos e ligue conforme a forma original refletida; isto é o gráfico de
. - Alternativamente, visualize a reflexão do desenho inteiro sobre a reta
.
Exemplo visual concreto:
- Se no gráfico de
existe o ponto , então no gráfico de existe . - Se
com domínio restrito a , então e seus gráficos são reflexos sobre .
Passo 6
Algumas observações úteis na hora da prova (truques e armadilhas para evitar).
- Se o gráfico falha no teste da linha horizontal, a função não tem inversa que seja função em todo o conjunto imagem; mas pode-se restringir o domínio para tornar
injetora (por exemplo, restringir a ). - Método algébrico geral para encontrar
: escreva , troque e e resolva a equação para . O resultado é . Sempre indique o domínio da inversa (a imagem de ). - Verificação rápida: composições
e, se
for bijetora com imagem igual a
,
Força aí — mesmo que esteja com pressa, lembrando do teste da linha horizontal e da reflexão em
você resolve a parte gráfica rápido; para a parte algébrica, troque
e
e isole
.
Resposta
(a) Uma função
é injetora se, para todos
,
. A partir do gráfico, decide-se aplicando o teste da linha horizontal:
é injetora se e somente se nenhuma linha horizontal
intersecta o gráfico em mais de um ponto.
(b) Se
é injetora, a função inversa
é definida por
O gráfico de
obtém-se trocando as coordenadas dos pontos do gráfico de
:
, ou geometricamente, refletindo o gráfico de
na reta
.