1. (a) O que é uma função injetora? Como decidir, a partir de seu gráfico, se uma função é injetora?
    (b) Se f é uma função injetora, como é definida a função inversa f^{-1} ? Como obter o gráfico f^{-1} do gráfico de f ?

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas claras:
  1. (a) O que é uma função injetora? Como decidir, a partir do seu gráfico, se uma função é injetora?
  2. (b) Se \,f é injetora, como é definida a função inversa \,f^{-1}? Como obter o gráfico de \,f^{-1} a partir do gráfico de \,f?
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • Temos uma função \,f com domínio e imagem bem definidos.
  • Na parte (b) assume-se que \,f é injetora (ou seja, cada valor da imagem vem de no máximo um ponto do domínio).
  • O enunciado pede definição formal, critério gráfico e procedimento para construir a inversa.

Passo 2

Definição formal e ideia intuitiva da injetividade.
Definição formal:
\text{A função }f:A\to B\text{ é injetora se, para todos }x_1,x_2\in A,\; f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2.çãé
Explicando em palavras: não existem dois pontos distintos do domínio que produzam o mesmo valor na imagem. Ou seja, cada valor em f(A) vem de no máximo um x.
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • A função \,f(x)=2x é injetora porque se 2x_1=2x_2 então x_1=x_2.
  • A função \,g(x)=x^2 definida em \mathbb{R} não é injetora porque g(1)=g(-1)=1: dois x distintos dão o mesmo valor.

Passo 3

Como decidir a injetividade a partir do gráfico — o “teste da linha horizontal” — e por que ele funciona.
Regra prática (teste da linha horizontal):
  • Uma função representada por um gráfico é injetora se e somente se toda linha horizontal y=c intersecta o gráfico em no máximo um ponto.
Por que isso é verdade (explicação lógica):
  • Se alguma linha y=c corta o gráfico em dois pontos (x_1,c) e (x_2,c) com x_1\neq x_2, então f(x_1)=c=f(x_2) com x_1\neq x_2, logo f não é injetora.
  • Se nenhuma linha horizontal corta o gráfico mais de uma vez, então não existem x_1\neq x_2 com f(x_1)=f(x_2), logo f é injetora.
Ilustrações mentais / exemplos:
  • O gráfico de \,y=x^2 (parábola) falha no teste: a linha y=1 intersecta em (-1,1) e (1,1).
  • O gráfico de \,y=2x+3 passa no teste: qualquer linha horizontal corta a reta em exatamente um ponto.
Dica prática na prova: ao olhar o gráfico, imagine deslocar uma régua horizontal — se ela tocar o gráfico mais de uma vez alguma vez, pronto: não é injetora.

Passo 4

Definição da função inversa \,f^{-1} quando \,f é injetora; domínio e por que a inversa existe e é única.
Definição formal:
  • Se f:A\to B é injetora, então cada y\in f(A) (imagem de f) tem exatamente um x\in A com f(x)=y. Define-se
f^{-1}:f(A)\to A
por
f^{-1}(y)=x\quad\text{onde }x\text{ é o único ponto tal que }f(x)=y.éú
Observações importantes:
  • O domínio de \,f^{-1} é \,f(A) (a imagem de f), não necessariamente todo o conjunto B. Para que f^{-1} seja uma função de B em A é preciso que f seja sobrejetora (bijetora).
  • A injetividade garante que, para cada y\in f(A), existe um único x a ser atribuído por \,f^{-1}, então a inversa é bem definida.
Exemplo algébrico passo a passo (como fazer na prova):
  • Seja f(x)=2x+3 com domínio \mathbb{R}. Para achar f^{-1}:
    1. Escreva y=2x+3.
    2. Resolva para x: \;x=\dfrac{y-3}{2}.
    3. Troque símbolos (padronizar): então
    f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.
  • Conclusão: f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} está bem definida porque f é injetora (e também sobrejetora aqui).

Passo 5

Como obter o gráfico de \,f^{-1} a partir do gráfico de \,f — regra de troca de coordenadas e reflexão na reta \,y=x.
Regra geométrica:
  • Se (a,b) é um ponto do gráfico de \,f (ou seja, f(a)=b), então (b,a) é um ponto do gráfico de \,f^{-1} (pois f^{-1}(b)=a).
  • Geometricamente, isso significa que o gráfico de \,f^{-1} é o reflexo do gráfico de \,f em relação à reta
y=x.
Por que refletir na reta \,y=x faz sentido:
  • A reflexão troca as coordenadas x e y. O gráfico de f contém pares (x,y); o gráfico de f^{-1} contém os pares (y,x).
Como aplicar na prática (passos na prova):
  1. Pegue pontos notáveis do gráfico de f (interseções com eixos, pontos marcados, vértices etc.).
  2. Troque as coordenadas (x,y)\mapsto(y,x) para cada ponto.
  3. Trace o conjunto desses pontos e ligue conforme a forma original refletida; isto é o gráfico de f^{-1}.
  4. Alternativamente, visualize a reflexão do desenho inteiro sobre a reta \,y=x.
Exemplo visual concreto:
  • Se no gráfico de f existe o ponto (1,5), então no gráfico de f^{-1} existe (5,1).
  • Se f(x)=x^2 com domínio restrito a [0,\infty), então \,f^{-1}(x)=\sqrt{x} e seus gráficos são reflexos sobre \,y=x.

Passo 6

Algumas observações úteis na hora da prova (truques e armadilhas para evitar).
  • Se o gráfico falha no teste da linha horizontal, a função não tem inversa que seja função em todo o conjunto imagem; mas pode-se restringir o domínio para tornar f injetora (por exemplo, restringir x^2 a x\ge 0).
  • Método algébrico geral para encontrar \,f^{-1}: escreva y=f(x), troque x e y e resolva a equação para y. O resultado é f^{-1}(x). Sempre indique o domínio da inversa (a imagem de f).
  • Verificação rápida: composições
f(f^{-1}(x))=x\quad\text{para }x\in f(A)
e, se f for bijetora com imagem igual a B,
f^{-1}(f(x))=x\quad\text{para }x\in A.
Força aí — mesmo que esteja com pressa, lembrando do teste da linha horizontal e da reflexão em \,y=x você resolve a parte gráfica rápido; para a parte algébrica, troque x e y e isole y.

Resposta

(a) Uma função f:A\to B é injetora se, para todos x_1,x_2\in A, f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2. A partir do gráfico, decide-se aplicando o teste da linha horizontal: f é injetora se e somente se nenhuma linha horizontal y=c intersecta o gráfico em mais de um ponto.
(b) Se f é injetora, a função inversa f^{-1} é definida por
f^{-1}:f(A)\to A,\qquad f^{-1}(y)=x\text{ onde }f(x)=y.
O gráfico de f^{-1} obtém-se trocando as coordenadas dos pontos do gráfico de f: (a,b)\mapsto(b,a), ou geometricamente, refletindo o gráfico de f na reta \;y=x.

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