resolva a equação diferencial dada encontrando, como no Exemplo 4, um fator integrante apropriado.
Passo 1
Enunciado e dados: a equação diferencial dada é
O que se pede: encontrar um fator integrante apropriado (como no Exemplo 4) que torne a equação exata e então resolver a equação, obtendo a solução geral implícita.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A solução requer achar um fator integrante
(provavelmente dependendo apenas de
ou apenas de
), multiplicar a equação por
para obter uma forma exata e então encontrar a função potencial cuja diferencial é a forma exata.
Passo 2
Teste de exatidão (para ver se já é exata): calculamos as derivadas parciais
Calculemos:
Como
a forma não é exata inicialmente. Precisamos, portanto, de um fator integrante
.
Passo 3
Procurando um fator integrante que dependa apenas de
: explicação do teste e cálculo.
Teoria curta e prática: se existe um fator integrante
que depende só de
, então deve valer
e a razão do lado direito deve ser função apenas de
. Vamos calcular essa razão.
Já temos
Dividindo por
obtemos
Boa notícia: esse quociente depende apenas de
. Logo existe um fator integrante
.
Agora resolvemos a equação diferencial para
:
Integramos ambos os lados:
Portanto, tomando a constante multiplicativa conveniente, podemos escolher
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
e verificamos exatidão.
Multiplicando termo a termo:
Verificamos exatidão checando as parciais:
Como as duas parciais coincidem, a forma multiplicada por
é exata.
Passo 5
Construção da função potencial
tal que
Integramos
em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma função arbitrária de
(pois a integração parcial pode deixar uma “constante” que depende de
).
Agora derivamos
em relação a
e igualamos a
para determinar
:
Igualando a
:
Os termos
cancelam, sobrando
Integramos em
:
Assim a função potencial é
Passo 6
Solução geral implícita: a solução da equação exata (após multiplicar por
) é dada por
Portanto a solução geral da equação diferencial original é
onde
é constante arbitrária. (Observação prática: não precisamos “voltar” multiplicando pela
quando escrevemos a solução implícita — a
que encontramos já é a potencial da forma multiplicada por
.)