resolva a equação diferencial dada encontrando, como no Exemplo 4, um fator integrante apropriado.
\left(y^{2}+x y^{3}\right) d x+\left(5 y^{2}-x y+y^{3} \operatorname{sen} y\right) d y=0

Passo 1

Enunciado e dados: a equação diferencial dada é
\left(y^{2}+x y^{3}\right)\,dx+\left(5 y^{2}-x y+y^{3}\sin y\right)\,dy=0.
O que se pede: encontrar um fator integrante apropriado (como no Exemplo 4) que torne a equação exata e então resolver a equação, obtendo a solução geral implícita.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
M(x,y)=y^{2}+x y^{3}, \qquad N(x,y)=5 y^{2}-x y+y^{3}\sin y.
A solução requer achar um fator integrante \mu (provavelmente dependendo apenas de x ou apenas de y), multiplicar a equação por \mu para obter uma forma exata e então encontrar a função potencial cuja diferencial é a forma exata.

Passo 2

Teste de exatidão (para ver se já é exata): calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}+x y^{3}\big) =2y+3x y^{2},
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\big(5 y^{2}-x y+y^{3}\sin y\big) =-y.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=2y+3x y^{2}\neq -y=\frac{\partial N}{\partial x},
a forma não é exata inicialmente. Precisamos, portanto, de um fator integrante \mu.

Passo 3

Procurando um fator integrante que dependa apenas de y: explicação do teste e cálculo.
Teoria curta e prática: se existe um fator integrante \mu=\mu(y) que depende só de y, então deve valer
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dy}=\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M},
e a razão do lado direito deve ser função apenas de y. Vamos calcular essa razão.
Já temos
\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}=-y-(2y+3x y^{2})=-3y-3x y^{2}=-3y(1+xy).
Dividindo por M=y^{2}+x y^{3}=y^{2}(1+xy) obtemos
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} =\frac{-3y(1+xy)}{y^{2}(1+xy)}=-\frac{3}{y}.
Boa notícia: esse quociente depende apenas de y. Logo existe um fator integrante \mu(y).
Agora resolvemos a equação diferencial para \mu:
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dy}=-\frac{3}{y}.
Integramos ambos os lados:
\ln\mu=\int -\frac{3}{y}\,dy=-3\ln y + C.
Portanto, tomando a constante multiplicativa conveniente, podemos escolher
\mu(y)=y^{-3}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(y)=y^{-3} e verificamos exatidão.
Multiplicando termo a termo:
\tilde M(x,y)=\mu M = y^{-3}\big(y^{2}+x y^{3}\big)=y^{-1}+x,
\tilde N(x,y)=\mu N = y^{-3}\big(5 y^{2}-x y+y^{3}\sin y\big)=5y^{-1}-x y^{-2}+\sin y.
Verificamos exatidão checando as parciais:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{-1}+x\big)=-y^{-2},
\frac{\partial \tilde N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(5y^{-1}-x y^{-2}+\sin y\big)=-y^{-2}.
Como as duas parciais coincidem, a forma multiplicada por \mu é exata.

Passo 5

Construção da função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=\tilde M(x,y)=x+y^{-1}, \qquad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=\tilde N(x,y)=5y^{-1}-x y^{-2}+\sin y.
Integramos \tilde M em relação a x (tratando y como constante):
\Psi(x,y)=\int (x+y^{-1})\,dx=\frac{x^{2}}{2}+x y^{-1}+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (pois a integração parcial pode deixar uma “constante” que depende de y).
Agora derivamos \Psi em relação a y e igualamos a \tilde N para determinar h(y):
\frac{\partial \Psi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{x^{2}}{2}+x y^{-1}+h(y)\Big)=-x y^{-2}+h'(y).
Igualando a \tilde N:
-x y^{-2}+h'(y)=5y^{-1}-x y^{-2}+\sin y.
Os termos -x y^{-2} cancelam, sobrando
h'(y)=5y^{-1}+\sin y.
Integramos em y:
h(y)=\int\big(5y^{-1}+\sin y\big)\,dy=5\ln y -\cos y + C.
Assim a função potencial é
\Psi(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+x y^{-1}+5\ln y -\cos y + C.

Passo 6

Solução geral implícita: a solução da equação exata (após multiplicar por \mu) é dada por
\Psi(x,y)=\text{constante}.
Portanto a solução geral da equação diferencial original é
\frac{x^{2}}{2}+\frac{x}{y}+5\ln y-\cos y=C,
onde C é constante arbitrária. (Observação prática: não precisamos “voltar” multiplicando pela \mu quando escrevemos a solução implícita — a \Psi que encontramos já é a potencial da forma multiplicada por \mu.)

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+\frac{x}{y}+5\ln y-\cos y=C

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