- Uma reta vertical intercepta o gráfico de uma função no máximo uma vez.
Passo 1
O enunciado afirma: “Uma reta vertical intercepta o gráfico de uma função no máximo uma vez.” A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar com argumentos claros. O problema nos dá uma reta vertical (qualquer) e o gráfico de uma função (qualquer função).
Passo 2
Vamos lembrar o que é o gráfico de uma função. Seja uma função
com domínio
. O gráfico de
é o conjunto de pontos
Isso significa que para cada
em
existe exatamente um ponto no plano associado, cujo segundo coordenado é
. Em outras palavras, cada entrada
tem um único resultado
.
Agora, o que é uma reta vertical? Uma reta vertical tem equação
para algum número fixo
. Todos os pontos dessa reta têm a mesma coordenada
(igual a
), e podem ter diferentes coordenadas
.
Passo 3
A interseção entre a reta vertical
e o gráfico de
ocorre quando um ponto de interseção tem de ser da forma
e, ao mesmo tempo, pertencer ao gráfico, ou seja, deve existir
tal que
(isto só faz sentido se
). Logo, se houver interseção, o ponto de interseção tem coordenadas
.
Passo 4
Prova por contradição: suponha que uma reta vertical
corta o gráfico de
em dois pontos distintos
e
com
. Como ambos estão no gráfico, teríamos
Isso implica
, contradizendo
. Portanto, essa hipótese é impossível. Concluímos que não podem existir dois pontos distintos do gráfico com a mesma abscissa
. Assim, uma reta vertical intersecta o gráfico de
no máximo uma vez (pode ser zero vezes, se
; ou exatamente uma vez, se
).
Passo 5
Exemplos concretos:
- Função
. A reta vertical intersecta o gráfico em apenas, porque . - Curva dada por
(círculo) é cortada pela reta em e . Isso mostra duas interseções — por isso o círculo não é o gráfico de uma função (cada daria dois s). Esse exemplo ilustra por que a propriedade vale para gráficos de funções, mas não para curvas arbitrárias.
Passo 6
Dica prática para prova (muito usada): o chamado “teste da reta vertical”: se existir alguma reta vertical que corta a curva mais de uma vez, então a curva não é o gráfico de uma função. Na prova, para mostrar que algo é função, verifique que para cada
há no máximo um ponto da curva com essa abscissa; para mostrar que não é função, basta encontrar uma reta vertical que corte a curva em dois pontos.
Resposta
Verdadeiro.