1. Uma reta vertical intercepta o gráfico de uma função no máximo uma vez.

Passo 1

O enunciado afirma: “Uma reta vertical intercepta o gráfico de uma função no máximo uma vez.” A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar com argumentos claros. O problema nos dá uma reta vertical (qualquer) e o gráfico de uma função (qualquer função).

Passo 2

Vamos lembrar o que é o gráfico de uma função. Seja uma função f com domínio D. O gráfico de f é o conjunto de pontos
\{(x,f(x)) \mid x\in D\}.
Isso significa que para cada x em D existe exatamente um ponto no plano associado, cujo segundo coordenado é f(x). Em outras palavras, cada entrada x tem um único resultado y=f(x).
Agora, o que é uma reta vertical? Uma reta vertical tem equação
x=a
para algum número fixo a. Todos os pontos dessa reta têm a mesma coordenada x (igual a a), e podem ter diferentes coordenadas y.

Passo 3

A interseção entre a reta vertical x=a e o gráfico de f ocorre quando um ponto de interseção tem de ser da forma (a,y) e, ao mesmo tempo, pertencer ao gráfico, ou seja, deve existir y tal que y=f(a) (isto só faz sentido se a\in D). Logo, se houver interseção, o ponto de interseção tem coordenadas (a,f(a)).

Passo 4

Prova por contradição: suponha que uma reta vertical x=a corta o gráfico de f em dois pontos distintos (a,y_1) e (a,y_2) com y_1\neq y_2. Como ambos estão no gráfico, teríamos
y_1=f(a)\quad\text{e}\quad y_2=f(a).
Isso implica y_1=y_2, contradizendo y_1\neq y_2. Portanto, essa hipótese é impossível. Concluímos que não podem existir dois pontos distintos do gráfico com a mesma abscissa a. Assim, uma reta vertical intersecta o gráfico de f no máximo uma vez (pode ser zero vezes, se a\notin D; ou exatamente uma vez, se a\in D).

Passo 5

Exemplos concretos:
  • Função f(x)=x^2. A reta vertical x=1 intersecta o gráfico em (1,1) apenas, porque f(1)=1.
  • Curva dada por x^2+y^2=1 (círculo) é cortada pela reta x=0 em (0,1) e (0,-1). Isso mostra duas interseções — por isso o círculo não é o gráfico de uma função y=f(x) (cada x daria dois ys). Esse exemplo ilustra por que a propriedade vale para gráficos de funções, mas não para curvas arbitrárias.

Passo 6

Dica prática para prova (muito usada): o chamado “teste da reta vertical”: se existir alguma reta vertical que corta a curva mais de uma vez, então a curva não é o gráfico de uma função. Na prova, para mostrar que algo é função, verifique que para cada x há no máximo um ponto da curva com essa abscissa; para mostrar que não é função, basta encontrar uma reta vertical que corte a curva em dois pontos.

Resposta

Verdadeiro.

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