1. A população de uma certa espécie em um ambiente limitado, com população inicial igual a 100 e capacidade para comportar 1000 indivíduos, é
P(t)=\frac{100000}{100+900 e^{-t}}
onde t é medido em anos.
(a) Faça o gráfico dessa função e estime quanto tempo levará para a população atingir 900 indivíduos.
(b) Encontre a inversa dessa função e explique seu significado.
(c) Use a função inversa para encontrar o tempo necessário para a população atingir 900 indivíduos. Compare com os resultados da parte (a).

Passo 1

O enunciado dá a população P em função do tempo t (anos):
P(t)=\frac{100000}{100+900 e^{-t}}.
As perguntas são:
(a) Fazer o gráfico dessa função e estimar quanto tempo levará para a população atingir 900 indivíduos.
(b) Encontrar a função inversa e explicar seu significado.
(c) Usar a inversa para calcular o tempo necessário para a população atingir 900 indivíduos e comparar com a estimativa da parte (a).
Informações relevantes dadas: a população inicial é P(0)=100 (isso pode ser verificado substituindo t=0), e há uma capacidade máxima aparente (limite superior) implícita na forma da função.

Passo 2

Simplifico a expressão para reconhecer a forma conhecida dessa função. Divido numerador e denominador por 100:
P(t)=\frac{100000}{100+900 e^{-t}}=\frac{1000}{1+9 e^{-t}}.
Explico por que isso ajuda: a forma
P(t)=\frac{K}{1+A e^{-rt}}
é a forma padrão de uma curva logística, onde K é a capacidade de suporte (valor máximo quando t\to\infty), r é a taxa de crescimento e A relaciona a condição inicial. Aqui, comparando com a forma padrão temos:
K=1000,\quad A=9,\quad r=1.
Isso significa que a população tende para 1000 à medida que o tempo cresce (assim, 1000 é o limite superior da população).

Passo 3

Descrevo o gráfico e seus pontos importantes (para responder (a) de forma didática):
  • Valor inicial: substituindo t=0 em \displaystyle P(t)=\frac{1000}{1+9e^{-t}},
P(0)=\frac{1000}{1+9}=100,
o que bate com o enunciado.
  • Limites: quando t\to\infty, e^{-t}\to0 e
\lim_{t\to\infty}P(t)=\frac{1000}{1+0}=1000,
portanto a assíntota horizontal superior é P=1000. Quando t\to -\infty, e^{-t}\to\infty e P(t)\to 0.
  • Ponto de inflexão (ou crescimento mais rápido): na logística padrão o ponto de máxima taxa de crescimento ocorre em P=\tfrac{K}{2}. Aqui isso é P=500. Encontro o t correspondente:
500=\frac{1000}{1+9e^{-t}}\Rightarrow 1+9e^{-t}=2\Rightarrow e^{-t}=\frac{1}{9}\Rightarrow t=\ln 9\approx 2,197.
Interpretação: aproximadamente em t\approx 2{,}197 anos a população cresce mais rapidamente; antes e depois desse tempo o crescimento é mais lento, formando a curva em S.
  • Esboço do gráfico (descrição): começa em P(0)=100, sobe lentamente, acelera até perto de P=500 por volta de t\approx 2{,}2, depois desacelera e se aproxima assintoticamente de P=1000.

Passo 4

Estimativa gráfica para quando P(t)=900 (continuação do item (a)). Pelo esboço: 900 está perto do teto 1000, então ocorre bem depois do ponto de inflexão. Visualmente num esboço típico de logística com K=1000 e P(0)=100, eu esperaria um tempo da ordem de poucas unidades (alguns anos), talvez entre 4 e 5 anos. Essa é a estimativa que se obtém apenas olhando para o gráfico: t\approx 4{,}4 anos (vamos confirmar algebricamente nas partes seguintes).

Passo 5

Agora faço a inversão algébrica para responder (b). Seja y a população observada, ou seja y=P(t). Parto de
y=\frac{100000}{100+900 e^{-t}}=\frac{1000}{1+9 e^{-t}}.
Isolo e^{-t}. Primeiro escrevo em termos de y:
y(1+9e^{-t})=1000\quad\Rightarrow\quad 1+9e^{-t}=\frac{1000}{y}.
Subtraio 1:
9e^{-t}=\frac{1000}{y}-1=\frac{1000-y}{y}.
Divido por 9:
e^{-t}=\frac{1000-y}{9y}.
Agora aplico logaritmo natural. Como e^{-t}>0, posso tomar ln:
-t=\ln\!\left(\frac{1000-y}{9y}\right)\quad\Rightarrow\quad t=\ln\!\left(\frac{9y}{1000-y}\right).
Logo a inversa P^{-1} (tomando y como variável) é
P^{-1}(y)=\ln\!\left(\frac{9y}{1000-y}\right).

Passo 6

Explico o significado da inversa (continuação do item (b)) de modo didático e simples: a função inversa P^{-1} dá o tempo necessário t (em anos) para que a população atinja um valor y. Ou seja, se eu quiser saber em quantos anos a população chegará a y indivíduos, calculo t=P^{-1}(y). Observações sobre domínio/imagem:
  • Para que o argumento do logaritmo seja positivo precisamos de 9y>0 e 1000-y>0, portanto 0<y<1000. Assim, matematicamente P^{-1} está definida para y\in(0,1000).
  • Se considerarmos apenas tempos t\ge 0 (pois o enunciado fala em população inicial em t=0), então os valores possíveis de y a partir de t\ge0 estão em [100,1000) porque P(0)=100 e a função é crescente em t. Nesse caso interpretamos P^{-1} restrita a [100,1000) como tempo desde t=0.

Passo 7

Uso a inversa para encontrar o tempo para y=900 (parte (c)). Substituo y=900 em
t=P^{-1}(y)=\ln\!\left(\frac{9y}{1000-y}\right).
Fazendo a substituição:
t=\ln\!\left(\frac{9\cdot 900}{1000-900}\right)=\ln\!\left(\frac{8100}{100}\right)=\ln(81).
Posso simplificar ainda mais: 81=3^4, então
t=\ln(81)=\ln(3^4)=4\ln 3.
Faço o cálculo aproximado de \ln 3\approx 1{,}098612, logo
t\approx 4\times 1{,}098612\approx 4{,}39445.

Passo 8

Comparação final (parte (c) comparação com (a)): a estimativa gráfica que eu dei no Passo 4 foi aproximadamente t\approx 4{,}4 anos. O cálculo exato pela inversa deu t=\ln(81)\approx 4{,}394 anos. As duas coisas coincidem com boa precisão: a estimativa visual foi muito próxima do valor exato, o que confirma que a leitura do esboço da curva logística era razoável.

Resposta

(a) Gráfico: curva logística em S com P(0)=100, assíntota superior P=1000, ponto de crescimento máximo em t=\ln 9\approx 2{,}197. Estimativa gráfica para P=900: aproximadamente t\approx 4{,}4 anos.
(b) P^{-1}(y)=\ln\!\left(\dfrac{9y}{1000-y}\right). Significado: dá o tempo t necessário para a população atingir y indivíduos. Domínio matemático 0<y<1000; se restrito a t\ge0 então 100\le y<1000.
(c) Usando a inversa para y=900: t=\ln(81)=4\ln 3\approx 4{,}394 anos. Comparação: coincide com a estimativa gráfica ( \approx 4{,}4 anos).

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