- A população de uma certa espécie em um ambiente limitado, com população inicial igual a 100 e capacidade para comportar 1000 indivíduos, é
onde
é medido em anos.
(a) Faça o gráfico dessa função e estime quanto tempo levará para a população atingir 900 indivíduos.
(b) Encontre a inversa dessa função e explique seu significado.
(c) Use a função inversa para encontrar o tempo necessário para a população atingir 900 indivíduos. Compare com os resultados da parte (a).
(a) Faça o gráfico dessa função e estime quanto tempo levará para a população atingir 900 indivíduos.
(b) Encontre a inversa dessa função e explique seu significado.
(c) Use a função inversa para encontrar o tempo necessário para a população atingir 900 indivíduos. Compare com os resultados da parte (a).
Passo 1
O enunciado dá a população
em função do tempo
(anos):
As perguntas são:
(a) Fazer o gráfico dessa função e estimar quanto tempo levará para a população atingir indivíduos.
(b) Encontrar a função inversa e explicar seu significado.
(c) Usar a inversa para calcular o tempo necessário para a população atingir indivíduos e comparar com a estimativa da parte (a).
Informações relevantes dadas: a população inicial é (isso pode ser verificado substituindo
), e há uma capacidade máxima aparente (limite superior) implícita na forma da função.
(a) Fazer o gráfico dessa função e estimar quanto tempo levará para a população atingir
(b) Encontrar a função inversa e explicar seu significado.
(c) Usar a inversa para calcular o tempo necessário para a população atingir
Informações relevantes dadas: a população inicial é
Passo 2
Simplifico a expressão para reconhecer a forma conhecida dessa função. Divido numerador e denominador por
:
Explico por que isso ajuda: a forma
é a forma padrão de uma curva logística, onde
é a capacidade de suporte (valor máximo quando
),
é a taxa de crescimento e
relaciona a condição inicial. Aqui, comparando com a forma padrão temos:
Isso significa que a população tende para
à medida que o tempo cresce (assim,
é o limite superior da população).
Passo 3
Descrevo o gráfico e seus pontos importantes (para responder (a) de forma didática):
- Valor inicial: substituindo
em ,
o que bate com o enunciado.
- Limites: quando
, e
portanto a assíntota horizontal superior é
. Quando
,
e
.
- Ponto de inflexão (ou crescimento mais rápido): na logística padrão o ponto de máxima taxa de crescimento ocorre em
. Aqui isso é . Encontro o correspondente:
Interpretação: aproximadamente em
anos a população cresce mais rapidamente; antes e depois desse tempo o crescimento é mais lento, formando a curva em S.
- Esboço do gráfico (descrição): começa em
, sobe lentamente, acelera até perto de por volta de , depois desacelera e se aproxima assintoticamente de .
Passo 4
Estimativa gráfica para quando
(continuação do item (a)). Pelo esboço:
está perto do teto
, então ocorre bem depois do ponto de inflexão. Visualmente num esboço típico de logística com
e
, eu esperaria um tempo da ordem de poucas unidades (alguns anos), talvez entre
e
anos. Essa é a estimativa que se obtém apenas olhando para o gráfico:
anos (vamos confirmar algebricamente nas partes seguintes).
Passo 5
Agora faço a inversão algébrica para responder (b). Seja
a população observada, ou seja
. Parto de
Isolo
. Primeiro escrevo em termos de
:
Subtraio
:
Divido por
:
Agora aplico logaritmo natural. Como
, posso tomar ln:
Logo a inversa
(tomando
como variável) é
Passo 6
Explico o significado da inversa (continuação do item (b)) de modo didático e simples: a função inversa
dá o tempo necessário
(em anos) para que a população atinja um valor
. Ou seja, se eu quiser saber em quantos anos a população chegará a
indivíduos, calculo
. Observações sobre domínio/imagem:
- Para que o argumento do logaritmo seja positivo precisamos de
e , portanto . Assim, matematicamente está definida para . - Se considerarmos apenas tempos
(pois o enunciado fala em população inicial em ), então os valores possíveis de a partir de estão em porque e a função é crescente em . Nesse caso interpretamos restrita a como tempo desde .
Passo 7
Uso a inversa para encontrar o tempo para
(parte (c)). Substituo
em
Fazendo a substituição:
Posso simplificar ainda mais:
, então
Faço o cálculo aproximado de
, logo
Passo 8
Comparação final (parte (c) comparação com (a)): a estimativa gráfica que eu dei no Passo 4 foi aproximadamente
anos. O cálculo exato pela inversa deu
anos. As duas coisas coincidem com boa precisão: a estimativa visual foi muito próxima do valor exato, o que confirma que a leitura do esboço da curva logística era razoável.
Resposta
(a) Gráfico: curva logística em S com
, assíntota superior
, ponto de crescimento máximo em
. Estimativa gráfica para
: aproximadamente
anos.
(b) . Significado: dá o tempo
necessário para a população atingir
indivíduos. Domínio matemático
; se restrito a
então
.
(c) Usando a inversa para :
anos. Comparação: coincide com a estimativa gráfica (
anos).
(b)
(c) Usando a inversa para