Sejam as funções f e g reais definidas por f(x)=2 x+a e g(x)=3 x-2 com a \in \mathrm{R}. Determine a a fim de que, para todo x real, f(g(x))=g(f(x)).

Passo 1

O enunciado nos dá as funções reais f e g definidas por:
f(x)=2x+a,\qquad g(x)=3x-2,
com a\in\mathbb{R}.
A pergunta é: determinar o valor de a tal que, para todo x\in\mathbb{R},
f(g(x))=g(f(x)).
Informações relevantes do enunciado:
  • As expressões explícitas de f e g (peguei essas expressões do enunciado).
  • A condição a satisfazer deve valer para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vamos entender o que significa f(g(x)) e g(f(x)).
  • f(g(x)) é a composição de f com g: primeiro aplica-se g a x, depois aplica-se f ao resultado. Em notação: f(g(x))=f\bigl(g(x)\bigr).
  • g(f(x)) é a composição na ordem inversa: g(f(x))=g\bigl(f(x)\bigr).
Um fato útil de álgebra elementar: se duas expressões polinomiais em x são iguais para todo x, então os coeficientes do mesmo grau em ambas as polinômias são iguais. Vamos usar isso (é a maneira mais direta e confiável para checar igualdade para todo x).

Passo 3

Calcular f(g(x)). Substitui-se g(x)=3x-2 em f:
f(g(x))=2\bigl(g(x)\bigr)+a=2(3x-2)+a.
Agora desenvolvendo o produto:
f(g(x))=6x-4+a.
Posso reescrever agrupando o termo em x e a constante:
f(g(x))=6x+(-4+a).

Passo 4

Calcular g(f(x)). Substitui-se f(x)=2x+a em g:
g(f(x))=3\bigl(f(x)\bigr)-2=3(2x+a)-2.
Desenvolvendo:
g(f(x))=6x+3a-2.
Ou seja,
g(f(x))=6x+(3a-2).

Passo 5

Queremos que f(g(x))=g(f(x)) para todo x. Comparando as formas obtidas:
6x+(-4+a)=6x+(3a-2).
Como as duas expressões são polinômios em x iguais para todo x, os coeficientes de x coincidem (aqui ambos são 6, já ok) e as partes constantes devem coincidir. Logo devemos ter:
-4+a=3a-2.

Passo 6

Resolver a equação para a. Manipulando passo a passo:
-4+a=3a-2
Subtrair a dos dois lados:
-4=2a-2
Somar 2 aos dois lados:
-2=2a
Dividir por 2:
a=-1.

Passo 7

Verificação rápida (sempre boa prática): colocar a=-1 nas composições calculadas.
f(g(x))=6x-4+(-1)=6x-5, \qquad g(f(x))=6x+3(-1)-2=6x-3-2=6x-5.
As duas expressões coincidem para todo x, então a=-1 satisfaz a condição.

Passo 8

Resumo didático do método (como aplicar na prova):
  • Para funções lineares f(x)=mx+b e g(x)=nx+c é comum calcular f(g(x)) e g(f(x)) explicitamente (é só substituir) e comparar coeficientes.
  • Igualdade para todo x implica igualdade dos coeficientes de x e das constantes; resolva o sistema que surge para obter os parâmetros (aqui apenas a).
  • Sempre faça uma verificação final substituindo o valor encontrado nas duas composições.

Resposta

a=-1

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