Sejam as funções
e
reais definidas por
e
com a
. Determine a a fim de que, para todo x real,
.
Passo 1
O enunciado nos dá as funções reais
e
definidas por:
com
.
A pergunta é: determinar o valor de tal que, para todo
,
A pergunta é: determinar o valor de
Informações relevantes do enunciado:
- As expressões explícitas de
e (peguei essas expressões do enunciado). - A condição a satisfazer deve valer para todo
.
Passo 2
Vamos entender o que significa
e
.
-
é a composição de com : primeiro aplica-se a , depois aplica-se ao resultado. Em notação: . -
é a composição na ordem inversa: .
Um fato útil de álgebra elementar: se duas expressões polinomiais em
são iguais para todo
, então os coeficientes do mesmo grau em ambas as polinômias são iguais. Vamos usar isso (é a maneira mais direta e confiável para checar igualdade para todo
).
Passo 3
Calcular
. Substitui-se
em
:
Agora desenvolvendo o produto:
Posso reescrever agrupando o termo em
e a constante:
Passo 4
Calcular
. Substitui-se
em
:
Desenvolvendo:
Ou seja,
Passo 5
Queremos que
para todo
. Comparando as formas obtidas:
Como as duas expressões são polinômios em
iguais para todo
, os coeficientes de
coincidem (aqui ambos são
, já ok) e as partes constantes devem coincidir. Logo devemos ter:
Passo 6
Resolver a equação para
. Manipulando passo a passo:
Subtrair
dos dois lados:
Somar
aos dois lados:
Dividir por
:
Passo 7
Verificação rápida (sempre boa prática): colocar
nas composições calculadas.
As duas expressões coincidem para todo
, então
satisfaz a condição.
Passo 8
Resumo didático do método (como aplicar na prova):
- Para funções lineares
e é comum calcular e explicitamente (é só substituir) e comparar coeficientes. - Igualdade para todo
implica igualdade dos coeficientes de e das constantes; resolva o sistema que surge para obter os parâmetros (aqui apenas ). - Sempre faça uma verificação final substituindo o valor encontrado nas duas composições.