Éder caminhou a uma taxa de r(t) quilômetros por hora (em que t é o tempo em horas). Nestas condições, escolha o que significa
\int_{2}^{3} r(t) d t=6
(a) Éder caminhou 6 quilômetros a cada hora.
(b) Éder caminhou 6 quilômetros em 3 horas.
(c) Éder caminhou 6 quilômetros durante a terceira hora.
(d) A taxa de Éder aumentou em 6 quilômetros por hora entre as horas 2 e 3.

Passo 1

O enunciado dá que Éder caminhou com taxa r(t) medida em \text{km/h} (onde t está em horas) e afirma que
\int_{2}^{3} r(t)\,dt = 6.
A tarefa é escolher, entre as alternativas (a)–(d), a interpretação correta desta igualdade.

Passo 2

Entender as unidades e o que cada símbolo representa. Aqui:
  • r(t) é uma velocidade instantânea em \text{km/h} no instante t.
  • dt representa um “pequeno” incremento de tempo, em horas.
  • O produto r(t)\,dt tem unidades \text{km/h}\times\text{h}=\text{km}, ou seja, distância pequena percorrida no intervalo de tempo dt.
    Logo, uma integral do tipo \int_{a}^{b} r(t)\,dt soma (acumula) essas pequenas distâncias desde t=a até t=b, resultando numa distância total medida em quilômetros.

Passo 3

Explicar a interpretação do valor numérico. A afirmação
\int_{2}^{3} r(t)\,dt = 6
significa que a soma (acumulação) das distâncias percorridas desde t=2 até t=3 horas é 6 quilômetros. Ou seja, o total percorrido no intervalo de tempo que vai do segundo até o terceiro horário (um intervalo de duração 3-2=1 hora) foi 6 km.

Passo 4

Relacionar com linguagem prática (e com as alternativas). Como o intervalo [2,3] tem duração de uma hora, afirmar que a distância total nessa hora é 6 km é o mesmo que dizer que, durante a terceira hora (ou seja, entre t=2 h e t=3 h), Éder percorreu 6 km. Isso corresponde exatamente à alternativa (c).

Passo 5

Por que as outras alternativas estão erradas (explicação didática e leve):
  • (a) “Éder caminhou 6 quilômetros a cada hora.” A integral dá a distância total na hora específica entre t=2 e t=3. Dela segue que a velocidade média nessa hora é \dfrac{1}{3-2}\int_{2}^{3} r(t)\,dt = 6\\ \text{km/h}. Mas isso só garante que a média naquela hora é 6\\ \text{km/h}; não confirma que ele sempre andou 6\\ \text{km/h} em todas as horas ou que sua velocidade instantânea era exatamente 6\\ \text{km/h} o tempo todo. Portanto (a) é imprecisa/errada.
  • (b) “Éder caminhou 6 quilômetros em 3 horas.” Isso interpretaria a integral como acumulando em três horas totais; porém a integral foi feita apenas de t=2 até t=3, isto é, em 1 hora. Logo (b) está errada.
  • (d) “A taxa de Éder aumentou em 6 quilômetros por hora entre as horas 2 e 3.” Isso seria uma interpretação de variação da taxa, que seria representada por r(3)-r(2) (ou por uma integral da derivada). A integral não fornece a variação da taxa; ela fornece a distância acumulada. Portanto (d) está errada.

Resposta

(c)

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