A função ll2 x, & se x <= 1 1, & se x >= 1 é contínua em x=1 ? Justifique.

Passo 1

Vamos lá, o que a questão está pedindo! Temos uma função definida de duas formas: para $ x \leq 1 $, ela é $ f(x) = 2x $, e para $ x \geq 1 $, ela é constante, $ f(x) = 1 $. A pergunta é: essa função é contínua em $ x = 1 $? Para descobrir isso, vamos precisar entender sobre limites e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função exatamente em $ x = 1 $. Como $ x = 1 $ se encaixa na primeira parte da função ($ x \leq 1 $), substituímos:
x = 1

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, quando $ x $ chega perto de 1 vindo dos valores menores que 1. Nessa região, a função é $ f(x) = 2x $, então:
x

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita, ou seja, vindo de valores maiores que 1. Nessa área, a função é constante e igual a 1:
x

Passo 5

Para que a função seja contínua em $ x = 1 $, o limite pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e também deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Vamos ver:
  • Limite pela esquerda: 2
  • Limite pela direita: 1
  • Valor da função em 1: 2
Já dá para ver que o limite pela esquerda ($ 2 x = 1 ãé 1 $). Portanto, a condição necessária para continuidade não é satisfeita.

Resposta

Não, a função não é contínua em $ x = 1 $, porque os limites laterais são diferentes.

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