Obtenha a solução geral para a equação.

Passo 1

O exercício pede para achar a solução geral da equação diferencial dydx = x^2 e^-4x - 4y. Trata-se de uma equação de 1ª ordem linear, onde podemos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro reescrevo a equação no formato padrão de equação linear: dydx + 4y = x^2 e^-4x. Nesse formato, identificamos P(x)=4 e Q(x)=x^2 e^-4x.

Passo 3

O próximo passo é calcular o fator integrante mu(x), definido por mu(x)=e^integral P(x),dx. Aqui temos:
mu(x)=e^integral 4,dx=e^4x

Passo 4

Multiplico ambos os lados da equação padrão por mu(x)=e^4x. Isso dá:
e^4xdydx+4e^4xy=x^2
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^4xy, ou seja, ddx[e^4xy]=x^2.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx[e^4xy],dx=integral x^2,dx
Isso resulta em
e^4xy=x^33+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos y para encontrar a solução geral:
y=e^-4xl(x^33+Cr)=x^33e^-4x+Ce^-4x

Resposta

y(x)=x^33e^-4x+Ce^-4x, onde C é a constante de integração.

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