Na função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=3 \cdot 4^{-x}, explique o padrão numérico da sequência correspondente a (f(1), f(2), f(3), f(4), \ldots).
  • Calculando os valores da sequência conforme a lei de formação da função:
\begin{aligned} & f(1)=3 \cdot 4^{-1}=\frac{3}{4^{1}}=\frac{3}{4} \\\ & f(2)=3 \cdot 4^{-2}=\frac{3}{4^{2}}=\frac{3}{16} \\\ & f(3)=3 \cdot 4^{-3}=\frac{3}{4^{3}}=\frac{3}{64} \\\ & f(4)=3 \cdot 4^{-4}=\frac{3}{4^{4}}=\frac{3}{256} \end{aligned}
Portanto, nessa sequência, cada termo a partir do segundo é o anterior multiplicado pela constante \frac{1}{4}.

Passo 1

O enunciado apresenta a função \displaystyle f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
f(x)=3\cdot4^{-x}
e pede para identificar o padrão numérico da sequência \bigl(f(1),f(2),f(3),f(4),\ldots\bigr). O conteúdo envolve função exponencial e progressão geométrica; vamos calcular os primeiros termos e depois reconhecer a razão.

Passo 2

Calculando os valores pela lei da função:
f(1)=3\cdot4^{-1}=\frac{3}{4},\quad f(2)=3\cdot4^{-2}=\frac{3}{16},\quad f(3)=3\cdot4^{-3}=\frac{3}{64},\quad f(4)=3\cdot4^{-4}=\frac{3}{256}.

Passo 3

Para ver o padrão, observamos a razão entre termos sucessivos:
\frac{f(n+1)}{f(n)} =\frac{3\cdot4^{-(n+1)}}{3\cdot4^{-n}} =\frac{4^{-n-1}}{4^{-n}} =\frac{1}{4}.
Isso mostra que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o anterior por \tfrac14, caracterizando uma progressão geométrica de razão \tfrac14.

Resposta

Cada termo da sequência, a partir do segundo, é o anterior multiplicado pela constante \tfrac14, ou seja, trata-se de uma progressão geométrica com razão \tfrac14.

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