(Uerj) Um imóvel perde 36 \% do valor de venda a cada dois anos. O valor V(t) desse imóvel em t anos pode ser obtido por meio da fórmula a seguir, na qual V_{0} corresponde ao seu valor atual.
V(t)=V 0 \cdot(0,64)^{\frac{t}{2}}
Admitindo que o valor de venda atual do imóvel seja igual a 50 mil reais, calcule seu valor de venda daqui a três anos.
  • Sabendo que V_{0}=50000, temos que o valor de venda daqui a três anos é igual a:
\begin{aligned} & V(3)=50000 \cdot(0,64)^{\frac{3}{2}} \\\ & V(3)=50000 \cdot \sqrt{0,64^{3}} \\\ & V(3)=50000 \cdot(\sqrt{0,64})^{3} \\\ & V(3)=50000 \cdot 0,8^{3} \\\ & V(3)=50000 \cdot 0,512 \Rightarrow V(3)=25600 \end{aligned}
Portanto, o valor do imóvel será R \ 25.600,00$.

Passo 1

O enunciado nos dá um modelo de decaimento exponencial em que um imóvel perde \,36\% de seu valor a cada 2 anos e que é descrito pela função
V(t)=V_{0}\cdot(0,64)^{\frac{t}{2}},
sendo V_{0} o valor atual. Com V_{0}=50000, queremos calcular o valor daqui a t=3 anos, ou seja, V(3).

Passo 2

Substituímos t=3 e V_{0}=50000 na expressão de V(t):
V(3)=50000\cdot(0,64)^{\frac{3}{2}}.

Passo 3

Para lidar com o expoente fracionário, usamos a propriedade
a^{\frac{m}{n}}=\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{m}.
No caso,
(0,64)^{\frac{3}{2}}=\bigl(\sqrt{0,64}\bigr)^{3}.
Como \sqrt{0,64}=0,8, temos
(0,64)^{\frac{3}{2}}=0,8^{3}.

Passo 4

Calculamos 0,8^{3} e multiplicamos por 50000:
0,8^{3}=0,512,
V(3)=50000\cdot0,512=25600.

Resposta

O valor de venda do imóvel daqui a três anos será R$ 25.600,00.

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