\int 12\left(y^{4}+4 y^{2}+1\right)^{2}\left(y^{3}+2 y\right) d y, \quad u=y^{4}+4 y^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int 12\bigl(y^{4}+4y^{2}+1\bigr)^{2}\bigl(y^{3}+2y\bigr)\,dy
usando a substituição u=y^{4}+4y^{2}+1. O conteúdo aqui é o método de substituição em integrais, que consiste em trocar a variável y por u de modo a simplificar a integral.

Passo 2

Calculamos a diferencial de u. Tem-se
u = y^{4}+4y^{2}+1
logo
\frac{du}{dy} = 4y^{3}+8y = 4\bigl(y^{3}+2y\bigr).
Isolando y^{3}+2y, obtemos
y^{3}+2y = \frac{1}{4}\,\frac{du}{dy} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(y^{3}+2y\bigr)\,dy = \frac{1}{4}\,du.

Passo 3

Substituímos na integral original:
\int 12\bigl(y^{4}+4y^{2}+1\bigr)^{2}\bigl(y^{3}+2y\bigr)\,dy = \int 12\,u^{2}\,\frac{1}{4}\,du = 3\int u^{2}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
3\int u^{2}\,du = 3\cdot \frac{u^{3}}{3} + C = u^{3}+C.
Por fim, voltamos à variável y:
u^{3} = \bigl(y^{4}+4y^{2}+1\bigr)^{3}.

Resposta

\int 12\bigl(y^{4}+4y^{2}+1\bigr)^{2}\bigl(y^{3}+2y\bigr)\,dy = \bigl(y^{4}+4y^{2}+1\bigr)^{3} + C.

Exercícios relacionados