A função módulo é definida, para todo [x \in \mathbf{R}), como sendo
Marcando o ponto é exatamente a distância desse ponto até ponto 0 . Utilizando a definição acima descreva o conjunto dos valores que satisfazem as seguintes igualdades.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de módulo
|x-3| = |2x+1|
ou seja, encontrar o conjunto de todos os xinR que tornam iguais as distâncias de x a 3 e de x a -tfrac12. O conteúdo principal aqui é a definição de valor absoluto por casos.

Passo 2

Pela definição
|A| = A &se (A>= 0), -,A &se (A<0),
vamos estudar o sinal de A=x-3 e de B=2x+1. Temos as fronteiras
x-3>=0iff x>=3, 2x+1>=0iff x>= -tfrac12
Logo, há quatro regiões a analisar.

Passo 3

Região x>=3: aqui x-3>=0 e 2x+1>=0. A equação vira
x-3 = 2x+1 Longrightarrow -x = 4 Longrightarrow x = -4
Como -4not>=3, descartamos esta solução nesta região.

Passo 4

Região -tfrac12 <= x<3: aqui x-3<0 e 2x+1>=0. A definição dá
-(x-3) = 2x+1 Longrightarrow -,x + 3 = 2x + 1 Longrightarrow 3 = 3x + 1 Longrightarrow x = tfrac23
Verificamos tfrac23in[-tfrac12,3), logo é solução válida.

Passo 5

Região x<-tfrac12: aqui x-3<0 e 2x+1<0. Então
-(x-3) = -l(2x+1r) Longrightarrow -,x + 3 = -2x - 1 Longrightarrow x = -4
E de fato -4<-tfrac12, então -4 é solução válida.

Resposta

-4,;tfrac23

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