Se uma função
não é analítica em um ponto
mas, para toda vizinhança de
existe um ponto onde
é analítica, o ponto
é chamado de ponto singular ou singularidade de
. Determine os pontos singulares das funções a seguir:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para identificar os pontos singulares da função
. Isso envolve entender onde a função não é analítica, ou seja, onde ela tem problemas para ser bem definida ou diferenciada. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre funções racionais e como identificar seus pontos de singularidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função racional é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Os pontos singulares dessa função ocorrem onde o denominador se torna zero, porque aí a função não está definida.
Então, vamos encontrar onde o denominador
é igual a zero:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação
:
-
-
- Resolvendo
, temos e (onde é a unidade imaginária).
- Resolvendo
Portanto, os valores que fazem o denominador zero são
,
e
.
Passo 4
Antes de concluir, precisamos verificar se o numerador
se anula nos mesmos pontos que o denominador. Se isso acontecesse, poderíamos ter uma remoção de singularidade, mas nesse caso:
- Para
: - Para
: - Para
:
Como o numerador não anula nenhum dos zeros do denominador, esses pontos são realmente singularidades da função.
Resposta
Os pontos singulares da função
são
,
e
.