Se uma função f não é analítica em um ponto z0 mas, para toda vizinhança de z0 existe um ponto onde f é analítica, o ponto z0 é chamado de ponto singular ou singularidade de f. Determine os pontos singulares das funções a seguir:
f(z)=2 z+1z(z^2+1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para identificar os pontos singulares da função . Isso envolve entender onde a função não é analítica, ou seja, onde ela tem problemas para ser bem definida ou diferenciada. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre funções racionais e como identificar seus pontos de singularidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função racional é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Os pontos singulares dessa função ocorrem onde o denominador se torna zero, porque aí a função não está definida.
Então, vamos encontrar onde o denominador z(z^2 + 1) = 0 é igual a zero:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação :
    • Resolvendo , temos e (onde é a unidade imaginária).
Portanto, os valores que fazem o denominador zero são , e .

Passo 4

Antes de concluir, precisamos verificar se o numerador se anula nos mesmos pontos que o denominador. Se isso acontecesse, poderíamos ter uma remoção de singularidade, mas nesse caso:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Como o numerador não anula nenhum dos zeros do denominador, esses pontos são realmente singularidades da função.

Resposta

Os pontos singulares da função são , e .

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