Quais são os valores de x para os quais o gráfico f(x)=x^3+3 x^2+x+3 tem tangentes horizontais?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar os valores de para os quais o gráfico da função tem tangentes horizontais. Isso está relacionado ao cálculo das derivadas, que nos ajuda a entender a inclinação das curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma tangente horizontal ocorre quando a inclinação da reta tangente é zero. E a inclinação da tangente em um ponto é dada pela derivada da função nesse ponto. Então, para encontrar onde as tangentes são horizontais, precisamos achar onde a derivada de é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função f'(x) = ddx(x^3) + ddx(3x^2) + ddx(x) + ddx(3) . Usamos as regras de derivação:
f'(x) = 3x^2 + 6x + 1 + 0 = 3x^2 + 6x + 1
Calculando cada termo:

Passo 4

Agora, queremos encontrar os valores de 3x^2 + 6x + 1 = 0 onde a derivada é zero:

Passo 5

Essa é uma equação quadrática. Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde x = -6 pm raiz6^2 - 4 cdot 3 cdot 12 cdot 3 = -6 pm raiz36 - 126 = -6 pm raiz246 , e . Substituindo na fórmula:

Passo 6

Simplificando a raiz quadrada:
raiz24 = 2raiz6
Então:
x = -6 pm 2raiz66 = -3 pm raiz63

Resposta

Os valores de x = -3 + raiz63 e x = -3 - raiz63 são:

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