Uma função
definida em um subconjunto
do
é dita Lipschitziana se existe uma constante positiva
tal que
.
Mostre que a função
definida em
e
é Lipschitziana.
Mostre que a função
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função
, definida em
, satisfaz a condição de Lipschitz, ou seja, existe
tal que
Para isso, vamos usar o fato de que se
Passo 2
Primeiro, calculamos o gradiente de
:
Em seguida, avaliamos sua norma euclidiana:
Como
e
em
, temos
Logo,
Passo 3
Pelo Teorema do Valor Médio em
, para quaisquer
existe um ponto no segmento que liga
a
em que
e portanto
Isto mostra exatamente que
é Lipschitziana em
com constante de Lipschitz igual a
.
Resposta
A função f é Lipschitziana em Ω com constante de Lipschitz
.