Uma função f: Omega R definida em um subconjunto Omega do R^n é dita Lipschitziana se existe uma constante positiva L tal que |f(u)-f(v)| <= L|u-v| forall u, v in Omega.
Mostre que a função f(x, y)=x^2+y^2 definida em Omega=(x, y) in R^2| | x mid <= 2 e |y| <= 2 é Lipschitziana.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função f(x,y)=x^2+y^2, definida em Omega=(x,y)inR^2mid |x|<=2,;|y|<=2, satisfaz a condição de Lipschitz, ou seja, existe L>0 tal que
|f(u)-f(v)|<= L|u-v|, forall;u,vinOmega
Para isso, vamos usar o fato de que se f é C^1 em um conjunto convexo e compacto, então basta encontrar uma cota superior para |nabla f| em Omega.

Passo 2

Primeiro, calculamos o gradiente de f:
nabla f(x,y)=l(partialxf,partialyfr)=(2x,2y)
Em seguida, avaliamos sua norma euclidiana:
|nabla f(x,y)|=raiz(2x)^2+(2y)^2=2raizx^2+y^2
Como |x|<=2 e |y|<=2 em Omega, temos
x^2+y^2<=2^2+2^2=8Longrightarrow 2raizx^2+y^2<=2raiz8=4raiz2
Logo,
sup(x,y)inOmega|nabla f(x,y)|=4raiz2

Passo 3

Pelo Teorema do Valor Médio em R^n, para quaisquer u,vinOmega existe um ponto no segmento que liga u a v em que
f(u)-f(v)=nabla f(xi)cdot(u-v)
e portanto
|f(u)-f(v)|<=|nabla f(xi)|,|u-v|<=l(4raiz2r),|u-v|
Isto mostra exatamente que f é Lipschitziana em Omega com constante de Lipschitz igual a 4raiz2.

Resposta

A função f é Lipschitziana em Ω com constante de Lipschitz L=4raiz2.

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