A função de onda para uma onda em uma corda tensa é:
onde
e
estão dados em metros e
em segundos. Se a densidade de massa linear da corda é
, (a) qual é a taxa média na qual a energia é transmitida ao longo da corda? (b) Qual é a energia contida em cada ciclo da onda?
Passo 1
O enunciado fornece a função de onda
com
e
em metros e
em segundos. Além disso a densidade de massa linear da corda é
. As perguntas são:
- (a) Qual é a taxa média na qual a energia é transmitida ao longo da corda? (ou seja, a potência média transportada pela onda.)
- (b) Qual é a energia contida em cada ciclo da onda?
Informações explícitas que vamos usar (retiradas do enunciado):
os argumentos da função mostram que o coeficiente de
é
e o coeficiente de
é
, portanto
Passo 2
Calcular quantidades geométricas da onda que serão úteis: velocidade de propagação
, comprimento de onda
e período
.
A velocidade da onda é dada por
Substituindo
e
,
O comprimento de onda
é
O período
(não confundir com tensão) é
Passo 3
Vamos obter a expressão para a velocidade transversal da corda (velocidade vertical de uma partícula da corda). Diferenciando
em relação a
:
O quadrado da velocidade transversal é
A energia cinética por unidade de comprimento (densidade linear de energia cinética) é
A média temporal de
é
, logo a energia cinética média por unidade de comprimento é
Passo 4
Agora a energia potencial por unidade de comprimento: para pequenas deformações a energia potencial instantânea por unidade de comprimento é
onde
é a tensão na corda. Calculamos
:
Então
A média temporal dá
Mas não conhecemos
diretamente; usamos a relação entre velocidade, tensão e densidade linear:
Substituindo na expressão média de
:
Como
, temos
. Assim
Passo 5
Somando as densidades de energia média cinética e potencial obtemos a densidade de energia média total por unidade de comprimento:
Interpretando: em média metade da energia total está cinética e metade potencial, e a energia média por metro é
.
Passo 6
A potência média transportada pela onda (energia por unidade de tempo que passa por uma seção) é a densidade de energia média multiplicada pela velocidade de propagação:
Esta é a fórmula que vamos usar para a alínea (a). Agora substituímos os valores numéricos.
Passo 7
Substituições numéricas:
Calculemos primeiro
:
Então
E a potência média é
Passo 8
Agora a alínea (b): energia contida em cada ciclo. Um “ciclo” da onda corresponde a uma comprimento de onda
. A energia média contida em um comprimento de onda é
Também podemos obter a mesma resposta por
pois em um período a quantidade de energia que passa por uma seção é potência vezes tempo, e durante um período a crista correspondente a um ciclo avança uma distância
.
Usando
e
:
Também checando com
, consistência confirmada.
Resposta
(a)
(b)
(b)