A função de onda para uma onda em uma corda tensa é:
y(x, t)=0,350 \operatorname{sen}\left(10 \pi t-3 \pi x+\frac{\pi}{4}\right)
onde x e y estão dados em metros e t em segundos. Se a densidade de massa linear da corda é 75,0 \mathrm{~g} / \mathrm{m}, (a) qual é a taxa média na qual a energia é transmitida ao longo da corda? (b) Qual é a energia contida em cada ciclo da onda?

Passo 1

O enunciado fornece a função de onda
y(x,t)=0{,}350\\ \operatorname{sen}\!\left(10\pi t-3\pi x+\frac{\pi}{4}\right),
com x e y em metros e t em segundos. Além disso a densidade de massa linear da corda é \;75{,}0\\ \mathrm{g/m}. As perguntas são:
  • (a) Qual é a taxa média na qual a energia é transmitida ao longo da corda? (ou seja, a potência média transportada pela onda.)
  • (b) Qual é a energia contida em cada ciclo da onda?
Informações explícitas que vamos usar (retiradas do enunciado):
A=0{,}350\\ \mathrm{m}, \qquad \mu=75{,}0\\ \mathrm{g/m}=0{,}075\\ \mathrm{kg/m},
os argumentos da função mostram que o coeficiente de t é 10\pi e o coeficiente de x é 3\pi, portanto
\omega=10\pi\\ \mathrm{rad/s}, \qquad k=3\pi\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 2

Calcular quantidades geométricas da onda que serão úteis: velocidade de propagação v, comprimento de onda \lambda e período T.
A velocidade da onda é dada por
v=\frac{\omega}{k}.
Substituindo \omega=10\pi e k=3\pi,
v=\frac{10\pi}{3\pi}=\frac{10}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 3{,}333\\ \mathrm{m/s}.
O comprimento de onda \lambda é
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{3\pi}=\frac{2}{3}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}6667\\ \mathrm{m}.
O período T_{\text{per}} (não confundir com tensão) é
T_{\text{per}}=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{10\pi}=0{,}2\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Vamos obter a expressão para a velocidade transversal da corda (velocidade vertical de uma partícula da corda). Diferenciando y(x,t) em relação a t:
\frac{\partial y}{\partial t} = A\cdot (-\omega)\cos(kx-\omega t+\varphi) = -A\omega\cos(\cdots).
O quadrado da velocidade transversal é
\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2 = A^2\omega^2\cos^2(\cdots).
A energia cinética por unidade de comprimento (densidade linear de energia cinética) é
u_K(x,t)=\tfrac{1}{2}\mu\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2 = \tfrac{1}{2}\mu A^2\omega^2\cos^2(\cdots).
A média temporal de \cos^2 é \tfrac{1}{2}, logo a energia cinética média por unidade de comprimento é
\langle u_K\rangle = \tfrac{1}{2}\mu A^2\omega^2\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}\mu A^2\omega^2.

Passo 4

Agora a energia potencial por unidade de comprimento: para pequenas deformações a energia potencial instantânea por unidade de comprimento é
u_U(x,t)=\tfrac{1}{2}\tau\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2,
onde \tau é a tensão na corda. Calculamos \partial y/\partial x:
\frac{\partial y}{\partial x} = A\cdot(-k)\cos(kx-\omega t+\varphi) = -Ak\cos(\cdots).
Então
u_U(x,t)=\tfrac{1}{2}\tau A^2 k^2\cos^2(\cdots).
A média temporal dá
\langle u_U\rangle = \tfrac{1}{2}\tau A^2 k^2 \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}\tau A^2 k^2.
Mas não conhecemos \tau diretamente; usamos a relação entre velocidade, tensão e densidade linear:
v^2=\frac{\tau}{\mu}\quad\Rightarrow\quad \tau=\mu v^2.
Substituindo na expressão média de u_U:
\langle u_U\rangle = \tfrac{1}{4}\mu v^2 A^2 k^2.
Como \omega = v k, temos v^2 k^2=\omega^2. Assim
\langle u_U\rangle = \tfrac{1}{4}\mu A^2 \omega^2.

Passo 5

Somando as densidades de energia média cinética e potencial obtemos a densidade de energia média total por unidade de comprimento:
u_{\text{média}}=\langle u_K\rangle+\langle u_U\rangle = \tfrac{1}{4}\mu A^2\omega^2 + \tfrac{1}{4}\mu A^2\omega^2 = \tfrac{1}{2}\mu A^2\omega^2.é
Interpretando: em média metade da energia total está cinética e metade potencial, e a energia média por metro é \tfrac{1}{2}\mu A^2\omega^2.

Passo 6

A potência média transportada pela onda (energia por unidade de tempo que passa por uma seção) é a densidade de energia média multiplicada pela velocidade de propagação:
P_{\text{média}} = u_{\text{média}}\; v = \left(\tfrac{1}{2}\mu A^2\omega^2\right)v.éé
Esta é a fórmula que vamos usar para a alínea (a). Agora substituímos os valores numéricos.

Passo 7

Substituições numéricas:
\mu=0{,}075\\ \mathrm{kg/m},\quad A=0{,}350\\ \mathrm{m},\quad \omega=10\pi\\ \mathrm{rad/s},\quad v=\tfrac{10}{3}\\ \mathrm{m/s}.
Calculemos primeiro \mu A^2\omega^2:
\mu A^2\omega^2 = 0{,}075\cdot(0{,}350)^2\cdot(10\pi)^2 =0{,}0091875\cdot 100\pi^2 \approx 9{,}0666\\ \text{(unidades J/m)}.
Então
u_{\text{média}}=\tfrac{1}{2}\mu A^2\omega^2\approx \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}0666 \approx 4{,}5333\\ \mathrm{J/m}.é
E a potência média é
P_{\text{média}} = u_{\text{média}}\,v \approx 4{,}5333\cdot 3{,}3333 \approx 15{,}12\\ \mathrm{W}.éé

Passo 8

Agora a alínea (b): energia contida em cada ciclo. Um “ciclo” da onda corresponde a uma comprimento de onda \lambda. A energia média contida em um comprimento de onda é
E_{\text{por ciclo}} = u_{\text{média}}\;\lambda.é
Também podemos obter a mesma resposta por
E_{\text{por ciclo}} = P_{\text{média}}\;T_{\text{per}},é
pois em um período a quantidade de energia que passa por uma seção é potência vezes tempo, e durante um período a crista correspondente a um ciclo avança uma distância \lambda.
Usando u_{\text{média}}\approx 4{,}5333\\ \mathrm{J/m}é e \lambda=\tfrac{2}{3}\\ \mathrm{m}:
E_{\text{por ciclo}} \approx 4{,}5333\cdot \tfrac{2}{3} \approx 3{,}02\\ \mathrm{J}.
Também checando com P_{\text{média}}T_{\text{per}} \approx 15{,}12\cdot 0{,}2 \approx 3{,}02\\ \mathrm{J}é, consistência confirmada.

Resposta

(a) 15{,}12\\ \mathrm{W}
(b) 3{,}02\\ \mathrm{J}

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