A função de onda dependente do tempo de uma partícula confinada em uma região entre 0 e L é:
psi(x, t)=A e^-i omega t sin (pi x / L)
Onde omega é a frequência e E é a energia (Nota. A função vária de um seno devido aos limites ( 0 e L). Quando x=0, o factor senoidal é zero e a função de onda é zero, consistente com as condições de contorno).
Calcule os valores esperados de posição, momento e energia cinética.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma partícula num “poço infinito” de 0 a L, com função de onda
psi(x,t)=A,e^-iomega tsin!l(tfracpi xLr),
O que a questão pede é: calcular os valores esperados (expectation values) de posição lang<= xrang<=, momento lang<= prang<= e energia cinética lang<= Trang<=.
Conteúdo envolvido: normalização de função de onda, operadores de posição e momento em mecânica quântica, cálculo de valores esperados, e uso da equação de Schrödinger para obter lang<= Trang<=.

Passo 2

Primeiro a gente precisa achar A pela normalização:
integral0^L|psi(x,t)|^2,dx=1Longrightarrow |A|^2integral0^Lsin^2!l(tfracpi xLr)dx=1,
Sabendo que
integral0^Lsin^2!l(tfracpi xLr)dx=L2,
vem
|A|^2L2=1Longrightarrow A=raiz2L,

Passo 3

Agora lang<= xrang<==integral0^Lpsi^*(x,t),x,psi(x,t),dx. Como o fator temporal e^-iomega t cancela com o conjugado, fica
lang<= xrang<==2Lintegral0^L xsin^2!l(tfracpi xLr),dx,
Usamos a identidade sin^2u=(1-cos2u)/2 e integramos por partes (ou tabelas), e dá
integral0^L xsin^2!l(tfracpi xLr)dx=L^24,
Então
lang<= xrang<==2LcdotL^24=L2,

Passo 4

Para lang<= prang<=, o operador é hat p=-ihbar,ddx. Então
lang<= prang<==integral0^Lpsi^*(x)l(-ihbartfracddxr)psi(x),dx,
Como psiproptosin(pi x/L), sua derivada é proptocos(pi x/L), e o produto sincos integrado de 0 a L dá zero (é função simétrica vezes antissimétrica em torno de L/2).
Logo
lang<= prang<==0,

Passo 5

A energia cinética quântica é
lang<= Trang<==llang<=hat p^22mrrang<==12mintegral0^Lpsi^*(x)l(-hbar^2tfracd^2dx^2r)psi(x),dx,
Mas como psi satisfaz a depressão espacial
-hbar^22md^2dx^2sin!l(tfracpi xLr)=E,sin!l(tfracpi xLr),
com
E=hbar^2pi^22mL^2,
é fácil ver que todo o valor esperado cai em E. Como dentro do poço a partícula não tem outra energia (potencial é zero), lang<= Trang<==E.

Resposta

$\displaystyle \langle x\rangle=\frac{L}{2},\quad \langle p\rangle=0,\quad \langle T\rangle=\frac{\hbar2\pi2}{2mL^2},. $

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