A função de onda dependente do tempo de uma partícula confinada em uma região entre 0 e L é:
Onde
é a frequência e
é a energia (Nota. A função vária de um seno devido aos limites ( 0 e L). Quando
, o factor senoidal é zero e a função de onda é zero, consistente com as condições de contorno).
Calcule os valores esperados de posição, momento e energia cinética.
Calcule os valores esperados de posição, momento e energia cinética.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma partícula num “poço infinito” de 0 a L, com função de onda
O que a questão pede é: calcular os valores esperados (expectation values) de posição
Conteúdo envolvido: normalização de função de onda, operadores de posição e momento em mecânica quântica, cálculo de valores esperados, e uso da equação de Schrödinger para obter
Passo 2
Primeiro a gente precisa achar
pela normalização:
Sabendo que
vem
Passo 3
Agora
. Como o fator temporal
cancela com o conjugado, fica
Usamos a identidade
Então
Passo 4
Para
, o operador é
. Então
Como
Logo
Passo 5
A energia cinética quântica é
Mas como
com
é fácil ver que todo o valor esperado cai em
Resposta
$\displaystyle \langle x\rangle=\frac{L}{2},\quad \langle p\rangle=0,\quad \langle T\rangle=\frac{\hbar2\pi2}{2mL^2},. $