Qual é a posição média de um electrão (massa m=9,109 cdot 10^-31 kg=511 keV / c^2 ) correspondente à função de onda n=0 de um potencial de oscilador harmônico com uma frequência angular constante omega=1,00 cdot 10^16 s^-1 ? Qual é sua energia cinética média?

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de oscilador harmônico quântico (matéria: Mecânica Quântica). O enunciado pede duas coisas para o elétron no estado fundamental (n=0) de um potencial harmônico com
  • massa
  • frequência angular
Precisamos calcular:
  1. A posição média .
  2. A energia cinética média .
Para isso a gente vai usar:
  • Conceito de valor esperado .
  • Propriedades do estado fundamental do oscilador quântico (função de onda gaussiana e simetria).
  • Fato de que, no oscilador harmônico, e .

Passo 2

Calcular a posição média lang<= xrang<= = 0 .
  1. Teoria: .
  2. A função de onda do estado fundamental é uma gaussiana centrada em zero e simétrica. Isso faz com que o integrando seja uma função ímpar, logo a integral é zero.
  3. Conclusão:

Passo 3

Calcular a energia cinética média T = p^22m = -,hbar^22m,d^2dx^2, .
  1. Teoria: o operador de energia cinética é
En = llang<= Trrang<= + llang<= Vrrang<=, llang<= Trrang<= = llang<= Vrrang<= Rightarrow llang<= Trrang<= = 12,En
Mas, para o oscilador harmônico em estado E0 = 12,hbaromega , vale a relação conhecida
llang<= Trrang<= = 12,E0 = 12;l(12hbaromegar) = 14,hbaromega
  1. Para o estado fundamental ( ), a energia total é
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Passo 4

Fazer a conta numérica para llang<= Trrang<= = 14,hbaromega = 14 times (1,054times10^-34,J,s) times (1,00times10^16, s^-1) approx 2,635times10^-19,J .
  • 2,635times10^-19,J ;/;(1,602times10^-19,J/eV) approx 1,64,eV
Se quiser em eV (1 eV = J):

Resposta

Posição média:
Energia cinética média:

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