Qual é a posição média de um electrão (massa
) correspondente à função de onda
de um potencial de oscilador harmônico com uma frequência angular constante
? Qual é sua energia cinética média?
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de oscilador harmônico quântico (matéria: Mecânica Quântica). O enunciado pede duas coisas para o elétron no estado fundamental (n=0) de um potencial harmônico com
- massa
- frequência angular
Precisamos calcular:
- A posição média
. - A energia cinética média
.
Para isso a gente vai usar:
- Conceito de valor esperado
. - Propriedades do estado fundamental do oscilador quântico (função de onda gaussiana e simetria).
- Fato de que, no oscilador harmônico,
e .
Passo 2
Calcular a posição média
.
- Teoria:
. - A função de onda do estado fundamental
é uma gaussiana centrada em zero e simétrica. Isso faz com que o integrando seja uma função ímpar, logo a integral é zero. - Conclusão:
Passo 3
Calcular a energia cinética média
.
- Teoria: o operador de energia cinética é
Mas, para o oscilador harmônico em estado
, vale a relação conhecida
- Para o estado fundamental (
), a energia total é
Logo
Passo 4
Fazer a conta numérica para
.
Se quiser em eV (1 eV =
J):
Resposta
Posição média:
Energia cinética média:
Energia cinética média: