A função de onda para o estado quântico de menor energia de um oscilador harmônico é dada por: Psi0(x, t)=[m omega /(pi hbar)]^1 / 4 exp [-m omega x^2 /(2 hbar)] exp (-i omega t / 2); sendo m e omega constantes.
Calcule a partir da função de onda o autovalor do momento linear associado a esse estado.
Marque a resposta que melhor represente esse autovalor.
0
p=hbar / x
p=i hbar / x
p=pi hbar / x
p=i pi hbar / x
p=m omega x
p=i m omega x
p=m omega x / 2
p=i m omega x / 2
Nenhuma das respostas

Passo 1

O enunciado dá a função de onda do estado fundamental de um oscilador harmônico unidimensional
Psi0(x,t)=l[momega/(pihbar)r]^1/4expl[-momega x^2/(2hbar)r]exp(-iomega t/2).
O conteúdo aqui é operar com o operador de momento linear em mecânica quântica e verificar se esse estado é autovetor desse operador, isto é, se existe um autovalor p tal que
hat p,Psi0=p,Psi0.

Passo 2

Na representação em x, o operador momento linear é
hat p=-,ihbarddx,
Um estado Psi é autovetor de hat p se satisfizer
hat p,Psi=p,Psi, onde p deve ser uma constante (o autovalor).

Passo 3

Vamos aplicar hat p em Psi0. Como toda a dependência em x está no fator exp[-momega x^2/(2hbar)], temos
ddxPsi0=-momegahbar,x,Psi0
e, portanto,
hat p,Psi0=-,ihbarddxPsi0=i,momega,x,Psi0,

Passo 4

Para ser autovetor, precisaríamos de
hat p,Psi0=p,Psi0 com p constante. Aqui obtemos
hat p,Psi0=(i,momega,x),Psi0,
onde o fator i,momega,x depende de x. Logo Psi0 não é autovetor de hat p e não há autovalor de momento linear associado.

Resposta

Nenhuma das respostas

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