As funções de onda para os dois primeiros estados quânticos de um oscilador harmônico são dadas por: Psi0(x, t)=[m omega /(pi hbar)]^1 / 4 exp [-m omega x^2 /(2 hbar)] exp (-i omega t / 2) e Psi1(x, t)=[4 m^3 omega^3 /(pi hbar^3)]^1 / 4 exp [-m omega x^2 /(2 hbar)] exp (-i 3 omega t / 2); sendo m e omega constantes.
Calcule a partir das funções de onda as energias associadas a esses dois estados.
Marque a resposta que melhor represente essas energias.
E0=pi^-1 / 2 hbar omega e E1=pi^-1 / 4 hbar omega
E0=0 e E1=hbar omega
E0=hbar omega / 2 e E1=3 hbar omega / 2
E0=hbar omega e E1=2 hbar omega
E0=0 e E1=m omega^2 x^2 / 2
E0=m omega^2 x^2 / 2 e E1=m omega^2 x^2
E0=0 e E1=m omega^2 x^2
Nenhuma das respostas

Passo 1

O enunciado nos dá as funções de onda dependentes do tempo para os dois primeiros estados do oscilador harmônico unidimensional:
Psi0(x,t)=l[tfracmomegapihbarr]^1/4expl[-tfracmomega x^22hbarr]expl(-itfracomega t2r)
Psi1(x,t)=l[tfrac4m^3omega^3pihbar^3r]^1/4expl[-tfracmomega x^22hbarr]expl(-itfrac3omega t2r)
Para cada estado n, a dependência temporal é exp(-iEnt/hbar). Basta igualar o argumento do expoente complexo para achar En.

Passo 2

No estado fundamental ( n=0), o fator temporal é exp(-iomega t/2). Comparando
expl(-itfracE0hbartr) com expl(-itfracomega2tr)
temos
tfracE0hbar=tfracomega2 Longrightarrow E0=tfrachbaromega2

Passo 3

No primeiro estado excitado ( n=1), o fator temporal é exp(-i3omega t/2). Comparando
expl(-itfracE1hbartr) com expl(-itfrac3omega2tr)
temos
tfracE1hbar=tfrac3omega2 Longrightarrow E1=tfrac3hbaromega2

Passo 4

Portanto, as energias dos dois primeiros estados são
E0=tfrachbaromega2, E1=tfrac3hbaromega2

Resposta

E0=hbaromega/2 e E1=3hbaromega/2

Exercícios relacionados