A função de onda de uma partícula livre em t=0 é dada por
Psi(x, 0)= 0, & x<-b A, & -b <= x <= 3 b 0, & x>3 b
Use a condição de normalização para encontrar a constante A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função de onda de uma partícula livre no tempo t=0:
Psi(x, 0)= 0, & x<-b A, & -b <= x <= 3 b 0, & x>3 b
O conteúdo aqui é de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e condição de normalização. Para resolver, vamos precisar entender o que significa normalizar uma função de onda e aplicar essa condição para encontrar a constante A.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a condição de normalização. Em mecânica quântica, a função de onda deve estar normalizada, ou seja, a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser igual a 1. Matematicamente, isso é representado por:
integral-infty^infty |Psi(x, t)|^2 dx = 1
No nosso caso, estamos lidando com o tempo t=0, então a condição fica:
integral-infty^infty |Psi(x, 0)|^2 dx = 1

Passo 3

Agora, vamos analisar a função de onda dada:
Psi(x, 0)= 0, & x<-b A, & -b <= x <= 3 b 0, & x>3 b
Isso significa que a função de onda é igual a A somente no intervalo de -b a 3b e zero fora desse intervalo.

Passo 4

Com isso, podemos simplificar a integral da condição de normalização. Como a função é zero fora de -b a 3b, a integral só precisa ser calculada nesse intervalo:
integral-b^3b |A|^2 dx = 1
Como A é uma constante, o módulo ao quadrado de A é simplesmente A^2:
A^2 integral-b^3b dx = 1

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
integral-b^3b dx = 3b - (-b) = 4b
Então temos:
A^2 times 4b = 1

Passo 6

Agora é só resolver para A:
A^2 = 14b
A = 12raizb

Resposta

A constante $ A $ é igual a $ \frac{1}{2\sqrt{b}} $.

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