Uma função está representada (em t=0) pela função de onda
psi(x, 0)= A(a^2-x^2), & se -a <= x <=+a 0, & caso contrário á
Qual é o valor esperado de x (no instante t=0 )?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos apresenta uma função de onda psi(x, 0) no instante t=0 e pede para encontrar o valor esperado de x, ou seja, lang<= x rang<=. Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especificamente o cálculo de valores esperados. Para resolver, vamos precisar normalizar a função de onda e então calcular a integral que define o valor esperado de x.

Passo 2

Primeiro, precisamos normalizar a função de onda psi(x, 0). Normalizar significa ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. A condição de normalização é:
integral-infty^+infty |psi(x, 0)|^2 , dx = 1
Como nossa função de onda é diferente de zero apenas no intervalo -a <= x <= a, a integral simplifica para:
integral-a^a |A(a^2 - x^2)|^2 , dx = 1

Passo 3

Vamos calcular essa integral para encontrar o valor de A. Primeiro, simplificamos a expressão dentro do módulo:
|psi(x, 0)|^2 = A^2(a^2 - x^2)^2
Então, a integral fica:
A^2 integral-a^a (a^4 - 2a^2x^2 + x^4) , dx = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular cada termo da integral separadamente:
  1. integral-a^a a^4 , dx = a^4 cdot (2a) = 2a^5
  2. integral-a^a 2a^2x^2 , dx = 2a^2 cdot 2a^33 = 4a^53
  3. integral-a^a x^4 , dx = 2a^55
Somando tudo:
2a^5 - 4a^53 + 2a^55 = (2 - 43 + 25)a^5 = (3015 - 2015 + 615)a^5 = 1615a^5

Passo 5

Agora, igualamos essa soma a 1 para encontrar A:
A^2 cdot 1615a^5 = 1 A^2 = 1516a^5 A = raiz1516a^5 = raiz154a^2.5

Passo 6

Com a função de onda normalizada, podemos calcular o valor esperado de x, que é dado por:
lang<= x rang<= = integral-infty^+infty psi^*(x, 0) , x , psi(x, 0) , dx
Como psi(x, 0) é real e diferente de zero apenas entre -a e a, a expressão simplifica para:
lang<= x rang<= = integral-a^a psi(x, 0) , x , psi(x, 0) , dx = integral-a^a psi^2(x, 0) , x , dx

Passo 7

Substituindo psi(x, 0) pela expressão normalizada:
lang<= x rang<= = A^2 integral-a^a (a^2 - x^2)^2 x , dx
Observamos que a função (a^2 - x^2)^2 x é uma função ímpar, ou seja, phi(-x) = -phi(x).

Passo 8

Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero:
integral-a^a função ímpar , dx = 0 çãí
Portanto:
lang<= x rang<= = 0

Resposta

O valor esperado de x no instante t=0 é zero.

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