Uma função está representada
pela função de onda
Qual é o valor esperado de
(no instante
)?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos apresenta uma função de onda
no instante
e pede para encontrar o valor esperado de
, ou seja,
. Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especificamente o cálculo de valores esperados. Para resolver, vamos precisar normalizar a função de onda e então calcular a integral que define o valor esperado de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos normalizar a função de onda
. Normalizar significa ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. A condição de normalização é:
Como nossa função de onda é diferente de zero apenas no intervalo
, a integral simplifica para:
Passo 3
Vamos calcular essa integral para encontrar o valor de
. Primeiro, simplificamos a expressão dentro do módulo:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada termo da integral separadamente:
Somando tudo:
Passo 5
Agora, igualamos essa soma a 1 para encontrar
:
Passo 6
Com a função de onda normalizada, podemos calcular o valor esperado de
, que é dado por:
Como
é real e diferente de zero apenas entre
e
, a expressão simplifica para:
Passo 7
Substituindo
pela expressão normalizada:
Observamos que a função
é uma função ímpar, ou seja,
.
Passo 8
Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero:
Portanto:
Resposta
O valor esperado de
no instante
é zero.