A função de onda de uma partícula é \psi(x)=A \cdot\left(4-x^{2}\right) no intervalo x=-2 a x=2 e zero fora deste intervalo.
Determine a constante A para que a função \psi seja normalizada.
Escolha uma opção:
◯ 0,171
◯ 0,968
◯ 0,0856
◯ 0,057

Passo 1

O enunciado dá a função de onda
\psi(x)=A\cdot\bigl(4-x^{2}\bigr)
para -2\le x\le 2 e \psi(x)=0 fora desse intervalo.
A pergunta é: determinar a constante A de forma que \psi esteja normalizada (isto é, que a probabilidade total seja 1).

Passo 2

Lembrete da condição de normalização: a função de onda \psi(x) deve satisfazer
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^{2}\,dx = 1.
Aqui |\psi(x)|^{2} significa o quadrado do módulo de \psi. Como \psi(x) é real neste problema, |\psi(x)|^{2}=\psi(x)^{2}.

Passo 3

Usando a forma dada de \psi (e lembrando que fora de [-2,2] a função é zero), a condição de normalização vira
\int_{-2}^{2} \bigl[A\,(4-x^{2})\bigr]^{2}\,dx = 1.
Colocando A^{2} fora da integral:
A^{2}\int_{-2}^{2} (4-x^{2})^{2}\,dx = 1.

Passo 4

Observação útil: a função (4-x^{2})^{2} é par (depende de x^{2}), então a integral simétrica pode ser escrita como o dobro da integral de 0 a 2:
\int_{-2}^{2} (4-x^{2})^{2}\,dx = 2\int_{0}^{2} (4-x^{2})^{2}\,dx.

Passo 5

Expandir o integrando para integrar termo a termo:
(4-x^{2})^{2} = 16 - 8x^{2} + x^{4}.

Passo 6

Calcular a integral de 0 a 2 termo a termo:
\int_{0}^{2} 16\,dx = 16x\Big|_{0}^{2} = 32,
\int_{0}^{2} (-8x^{2})\,dx = -8\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{2} = -8\cdot\frac{8}{3} = -\frac{64}{3},
\int_{0}^{2} x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}\Big|_{0}^{2} = \frac{32}{5}.

Passo 7

Somando esses resultados:
\int_{0}^{2} (16-8x^{2}+x^{4})\,dx = 32 - \frac{64}{3} + \frac{32}{5}.
Colocando em denominador comum 15:
32 = \frac{480}{15},\qquad \frac{64}{3}=\frac{320}{15},\qquad \frac{32}{5}=\frac{96}{15},
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32 - \frac{64}{3} + \frac{32}{5} = \frac{480-320+96}{15} = \frac{256}{15}.

Passo 8

Então a integral de -2 a 2 vale
\int_{-2}^{2} (4-x^{2})^{2}\,dx = 2\cdot\frac{256}{15} = \frac{512}{15}.
Voltando à condição de normalização:
A^{2}\cdot\frac{512}{15} = 1.

Passo 9

Isolando A^{2} e A:
A^{2} = \frac{15}{512}, \qquad A = \sqrt{\frac{15}{512}}.
Podemos simplificar a raiz: 512=2^{9}, então \sqrt{512}=2^{4}\sqrt{2}=16\sqrt{2}. Assim
A = \frac{\sqrt{15}}{16\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{30}}{32}.
Valor numérico aproximado:
A \approx 0,171\\ (\text{aproximadamente}).

Resposta

0,171

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