Uma função de onda para uma onda que se propaga numa corda tensionada, é dada pela relação
y(x, t)=0,350 \sin \left(10 \pi t-3 \pi x+\frac{\pi}{4}\right) .
Qual a velocidade e a direção em que a onda se propaga?

Passo 1

O enunciado dá a função de onda
y(x,t)=0,350\sin\!\left(10\pi t-3\pi x+\frac{\pi}{4}\right)
e pergunta: (1) qual a velocidade de propagação da onda e (2) em que direção ela se propaga.
Informações relevantes fornecidas:
  • Amplitude: \,0,350 (não necessária para velocidade/direção, mas está presente).
  • A fase da função tem a forma \,10\pi t-3\pi x+\pi/4.

Passo 2

Identificar os parâmetros padrão de uma onda senoidal. Uma forma muito usada é
y(x,t)=A\sin\!\bigl(\omega t - k x + \varphi\bigr),
onde:
  • A é a amplitude (altura máxima),
  • \omega é a frequência angular (rad/s),
  • k é o número de onda (rad/m),
  • \varphi é a fase inicial.
    Na forma acima, se a fase aparece como \omega t - kx, a onda desloca-se no sentido positivo de x; se aparece como kx-\omega t, desloca-se no sentido negativo de x. Vou usar isso depois para determinar a direção.

Passo 3

Comparar a sua expressão com a forma padrão para extrair \omega e k. Da expressão dada,
\omega = 10\pi,\qquad k = 3\pi.
Vou explicar o que esses dois significam:
  • \omega (rad/s) relaciona-se à frequência temporal; a frequência comum f é \displaystyle f=\frac{\omega}{2\pi}.
  • k (rad/m) relaciona-se à variação espacial; o comprimento de onda \lambda é \displaystyle \lambda=\frac{2\pi}{k}.

Passo 4

Calcular a velocidade de fase da onda usando a relação básica
v=\frac{\omega}{k}.
Substituindo os valores extraídos:
v=\frac{10\pi}{3\pi}=\frac{10}{3}\\ \text{m/s}.
Em valor decimal com três algarismos significativos:
v\approx 3,33\\ \text{m/s}.

Passo 5

Como checagem (útil na prova): calcular f e \lambda e usar v=f\lambda.
Calcular a frequência:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{10\pi}{2\pi}=5\\ \text{Hz}.
Calcular o comprimento de onda:
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{3\pi}=\frac{2}{3}\\ \text{m}\approx 0,667\\ \text{m}.
Agora v=f\lambda=5\cdot\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\\ \text{m/s}, que coincide com o valor anterior. Boa prática: usar essa verificação se der tempo na prova.

Passo 6

Determinar a direção de propagação olhando o sinal da fase. A fase é
\theta=\omega t - k x + \varphi = 10\pi t - 3\pi x + \frac{\pi}{4}.
Para um ponto de fase constante ( \theta= constante) tem-se
k x = \omega t + \text{const} \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\omega}{k}t+\text{const}.
Como x aumenta quando t aumenta, isso significa que os picos (e demais marcas da onda) se movem no sentido positivo de x. Portanto a onda se propaga no sentido positivo do eixo x.

Passo 7

Resumo final e dica de prova: extraia \omega e k lendo os coeficientes na fase; calcule v=\omega/k. Verifique a direção observando se a fase tem \omega t - kx (para +x) ou kx - \omega t (para -x). Isso resolve a questão rápida e com segurança durante a prova.

Resposta

\displaystyle v=\frac{10}{3}\\ \text{m/s}\approx 3,33\\ \text{m/s}
Sentido de propagação: sentido positivo de \,x (para +x).

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