No instante
, um pulso é gerado em uma corda tendo seu deslocamento vertical dado pela função,
(a) Apresente a forma da função
que descreve este pulso deslocando-se no sentido de
positivo com velocidade de
. (b) Qual a posição em
do ponto de maior deslocamento vertical do pulso no instante
? (c) Considere que o pulso deslocou-se pela corda até encontrar-se com uma extremidade na qual a corda está presa. Qual a função
que descreve a onda refletida? (d) Verifique se a
obtida no item (a) satisfaz a equação da onda.
Passo 1
O enunciado dá a forma do pulso no instante
:
Informações e pedidos organizados:
- Dado: a forma inicial do pulso é
no instante . - Dado: o pulso desloca-se no sentido positivo de
com velocidade . - Pergunta (a): achar a função
que descreve o pulso movendo-se para a direita com velocidade . - Pergunta (b): achar a posição em
do ponto de maior deslocamento vertical do pulso no instante . - Pergunta (c): supondo que a corda tem uma extremidade presa (fixa), encontrar a função
que descreve a onda refletida. - Pergunta (d): verificar se a função
do item (a) satisfaz a equação da onda (ou seja, mostrar que é solução da equação da onda com velocidade ).
Passo 2
Conceito usado para (a) — como gerar a forma em movimento:
- Se uma forma inicial é dada por uma função
no instante , então uma onda que se desloca sem deformar para a direita com velocidade tem a forma
Aqui
é a forma inicial (variável independente escrita como argumento),
é a posição espacial e
o tempo; ao substituir
por
a forma
desloca-se no sentido positivo de
com velocidade
.
- No problema temos
(onde será no instante ) e . Portanto aplicamos .
Passo 3
Resposta do item (a) — escrever explicitamente a função em movimento:
- Substituindo
em obtemos
Comentário didático: isso significa que a “crista” que estava em
no instante
desloca-se rigidamente para a direita com velocidade
, mantendo a mesma forma.
Passo 4
Resolução do item (b) — posição do ponto de maior deslocamento no instante
:
- A posição do máximo da forma móvel é a posição
que anula a derivada espacial . - É mais simples usar a ideia de coordenada móvel: defina
. A função become com . - O máximo de
em (para tempo fixo) ocorre quando . Vamos calcular :
- Igualando a zero:
- Conclui-se que o máximo ocorre quando
, ou seja quando
- Para
:
Comentário: como a forma inicial tem máximo em
, esse máximo viaja com a velocidade do pulso; por isso em
está em
.
Passo 5
Resolução do item (c) — função da onda refletida numa extremidade presa:
- Modelo físico: uma extremidade presa (fixa) em, por exemplo,
impõe a condição de contorno
- A onda incidente é
com . - A onda refletida que viaja para a esquerda tem forma do tipo
(argumento para onda viajando em sentido negativo). - Impor a condição de contorno em
:
- Isso deve valer para todo
, então determinamos por
- Portanto a onda refletida é
- Observação importante: a função
é uma função par, ou seja (porque depende de ). Assim
- Interpretação física: reflexão em extremidade presa inverte a fase (sinal negativo) e a onda refletida viaja no sentido negativo de
.
Passo 6
Resolução do item (d) — verificar se
do item (a) satisfaz a equação da onda:
- A equação da onda unidimensional (para deslocamento
em corda) é
onde
é a velocidade da onda; aqui
.
- Para verificar, use a notação
e escreva com . - Derivadas parciais usando regra da cadeia:
- Comparando:
Logo
- Como
tem , concluímos que
ou seja,
satisfaz a equação da onda com velocidade
. Comentário: esse argumento vale para qualquer
suficientemente suave; funções da forma
são soluções da equação da onda com velocidade
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Sim. Verifica-se que
, logo
satisfaz a equação da onda com
.