No instante t=0, um pulso é gerado em uma corda tendo seu deslocamento vertical dado pela função,
y(x)=\frac{2}{x^{4}+1}
(a) Apresente a forma da função y(x, t) que descreve este pulso deslocando-se no sentido de x positivo com velocidade de 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (b) Qual a posição em x do ponto de maior deslocamento vertical do pulso no instante t=1,5 \mathrm{~s} ? (c) Considere que o pulso deslocou-se pela corda até encontrar-se com uma extremidade na qual a corda está presa. Qual a função y^{r}(x, t) que descreve a onda refletida? (d) Verifique se a y(x, t) obtida no item (a) satisfaz a equação da onda.

Passo 1

O enunciado dá a forma do pulso no instante t=0:
y(x)=\frac{2}{x^{4}+1}.
Informações e pedidos organizados:
  • Dado: a forma inicial do pulso é y(x)=\dfrac{2}{x^{4}+1} no instante t=0.
  • Dado: o pulso desloca-se no sentido positivo de x com velocidade 2{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Pergunta (a): achar a função y(x,t) que descreve o pulso movendo-se para a direita com velocidade 2{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Pergunta (b): achar a posição em x do ponto de maior deslocamento vertical do pulso no instante t=1{,}5\\ \mathrm{s}.
  • Pergunta (c): supondo que a corda tem uma extremidade presa (fixa), encontrar a função y^{r}(x,t) que descreve a onda refletida.
  • Pergunta (d): verificar se a função y(x,t) do item (a) satisfaz a equação da onda (ou seja, mostrar que é solução da equação da onda com velocidade v=2{,}0).

Passo 2

Conceito usado para (a) — como gerar a forma em movimento:
  • Se uma forma inicial é dada por uma função f(x) no instante t=0, então uma onda que se desloca sem deformar para a direita com velocidade v tem a forma
y(x,t)=f(x-vt).
Aqui f é a forma inicial (variável independente escrita como argumento), x é a posição espacial e t o tempo; ao substituir x por x-vt a forma f desloca-se no sentido positivo de x com velocidade v.
  • No problema temos f(u)=\dfrac{2}{u^{4}+1} (onde u será x no instante t=0) e v=2{,}0\\ \mathrm{m/s}. Portanto aplicamos x\mapsto x-2t.

Passo 3

Resposta do item (a) — escrever explicitamente a função em movimento:
  • Substituindo u=x-2t em f(u) obtemos
y(x,t)=\frac{2}{(x-2t)^{4}+1}.
Comentário didático: isso significa que a “crista” que estava em x=0 no instante t=0 desloca-se rigidamente para a direita com velocidade 2, mantendo a mesma forma.

Passo 4

Resolução do item (b) — posição do ponto de maior deslocamento no instante t=1{,}5\\ \mathrm{s}:
  • A posição do máximo da forma móvel é a posição x que anula a derivada espacial \partial y/\partial x.
  • É mais simples usar a ideia de coordenada móvel: defina \xi=x-2t. A função become y(x,t)=f(\xi) com f(\xi)=\dfrac{2}{\xi^{4}+1}.
  • O máximo de y em x (para tempo fixo) ocorre quando f'(\xi)=0. Vamos calcular f'(\xi):
f(\xi)=2(\xi^{4}+1)^{-1}\quad\Rightarrow\quad f'(\xi)=-2\cdot \frac{4\xi^{3}}{(\xi^{4}+1)^{2}}=-\frac{8\xi^{3}}{(\xi^{4}+1)^{2}}.
  • Igualando a zero:
f'(\xi)=0 \quad\Rightarrow\quad -\frac{8\xi^{3}}{(\xi^{4}+1)^{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad \xi^{3}=0 \quad\Rightarrow\quad \xi=0.
  • Conclui-se que o máximo ocorre quando \xi=0, ou seja quando
x-2t=0 \quad\Rightarrow\quad x=2t.
  • Para t=1{,}5\\ \mathrm{s}:
x=2\cdot 1{,}5=3{,}0\\ \mathrm{m}.
Comentário: como a forma inicial tem máximo em x=0, esse máximo viaja com a velocidade do pulso; por isso em t está em x=2t.

Passo 5

Resolução do item (c) — função da onda refletida numa extremidade presa:
  • Modelo físico: uma extremidade presa (fixa) em, por exemplo, x=0 impõe a condição de contorno
y(0,t)=0\quad\text{para todo }t.
  • A onda incidente é y_{i}(x,t)=f(x-2t) com f(u)=\dfrac{2}{u^{4}+1}.
  • A onda refletida que viaja para a esquerda tem forma do tipo y_{r}(x,t)=g(x+2t) (argumento x+vt para onda viajando em sentido negativo).
  • Impor a condição de contorno em x=0:
y_{i}(0,t)+y_{r}(0,t)=0 \quad\Rightarrow\quad f(-2t)+g(2t)=0.
  • Isso deve valer para todo t, então determinamos g por
g(\eta)=-f(-\eta)\quad\text{(para todo }\eta\text{).}
  • Portanto a onda refletida é
y_{r}(x,t)=g(x+2t)=-f(-(x+2t)).
  • Observação importante: a função f(u)=\dfrac{2}{u^{4}+1} é uma função par, ou seja f(-u)=f(u) (porque depende de u^{4}). Assim
y_{r}(x,t)=-f(-(x+2t))=-f(x+2t)=-\frac{2}{(x+2t)^{4}+1}.
  • Interpretação física: reflexão em extremidade presa inverte a fase (sinal negativo) e a onda refletida viaja no sentido negativo de x.

Passo 6

Resolução do item (d) — verificar se y(x,t) do item (a) satisfaz a equação da onda:
  • A equação da onda unidimensional (para deslocamento y em corda) é
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=v^{2}\,\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}},
onde v é a velocidade da onda; aqui v=2.
  • Para verificar, use a notação \xi=x-2t e escreva y(x,t)=f(\xi) com f(\xi)=\dfrac{2}{\xi^{4}+1}.
  • Derivadas parciais usando regra da cadeia:
\frac{\partial y}{\partial x}=f'(\xi)\cdot\frac{\partial \xi}{\partial x}=f'(\xi), \qquad \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=f''(\xi)\cdot\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^{2}=f''(\xi).
\frac{\partial y}{\partial t}=f'(\xi)\cdot\frac{\partial \xi}{\partial t}=f'(\xi)\cdot(-2)=-2f'(\xi),
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=\frac{\partial}{\partial t}\big(-2f'(\xi)\big)=-2 f''(\xi)\cdot\frac{\partial \xi}{\partial t}=-2 f''(\xi)\cdot(-2)=4 f''(\xi).
  • Comparando:
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=4 f''(\xi),\qquad \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=f''(\xi).
Logo
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=4\,\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}.
  • Como v=2 tem v^{2}=4, concluímos que
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=v^{2}\,\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}},
ou seja, y(x,t)=\dfrac{2}{(x-2t)^{4}+1} satisfaz a equação da onda com velocidade 2. Comentário: esse argumento vale para qualquer f suficientemente suave; funções da forma f(x- vt) são soluções da equação da onda com velocidade v.

Resposta

(a) y(x,t)=\dfrac{2}{(x-2t)^{4}+1}
(b) x=3{,}0\\ \mathrm{m}
(c) y^{r}(x,t)=-\dfrac{2}{(x+2t)^{4}+1}
(d) Sim. Verifica-se que \dfrac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=4\,\dfrac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}, logo y satisfaz a equação da onda com v=2.

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