Uma onda senoidal em uma corda é descrita pela função de onda y(x, t)=0,20 \sin (0,75 \pi x+ 18 \pi t ), onde x e y estão em metros e t em segundos. A corda possui uma densidade linear de massa igual a 0,250 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}. A corda é presa a uma massa m, que a tensiona. Calcule o valor desta massa.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a massa m que tensiona a corda. As informações fornecidas são:
  • Função de onda: y(x,t)=0,20\sin\!\bigl(0,75\pi x + 18\pi t\bigr), com x e y em metros e t em segundos.
  • Densidade linear de massa da corda: \mu=0,250\\ \mathrm{kg/m}.
  • A corda está presa a uma massa m que fornece a tensão T (presume-se equilíbrio estático, logo T=m g).
    O objetivo final é encontrar m.

Passo 2

Identificar os parâmetros da onda a partir da função. A forma geral de uma onda harmônica é, por exemplo,
y(x,t)=A\sin\!\bigl(kx-\omega t\bigr)\quad\text{ou}\quad y(x,t)=A\sin\!\bigl(kx+\omega t\bigr),
onde:
  • A é a amplitude (em metros),
  • k é o número de onda (em \mathrm{rad/m}),
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}).
    Comparando com a função dada, temos:
k=0,75\pi\quad\text{(rad/m)},\qquad \omega=18\pi\quad\text{(rad/s)}.

Passo 3

Relacionar velocidade de propagação da onda com \omega e k. A velocidade de fase (módulo da velocidade de propagação) de uma onda harmônica é dada por
v=\frac{\omega}{k},
porque \omega mede quão rápido a fase muda no tempo e k mede quão rápido muda no espaço; a razão dá a velocidade em \mathrm{m/s}.
Aplicando os valores obtidos:
v=\frac{18\pi}{0,75\pi}=\frac{18}{0,75}=24\\ \mathrm{m/s}.
(As \pi cancelam.)

Passo 4

Conectar velocidade da onda com a tensão da corda. Para ondas transversais em uma corda tensa homogênea vale a relação
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde:
  • v é a velocidade da onda ( \mathrm{m/s}),
  • T é a tensão na corda ( \mathrm{N}),
  • \mu é a densidade linear de massa ( \mathrm{kg/m}).
    Reorganizando para obter T:
T=\mu v^{2}.

Passo 5

Calcular a tensão T numericamente usando \mu=0,250\\ \mathrm{kg/m} e v=24\\ \mathrm{m/s}:
T=\mu v^{2}=0,250\cdot 24^{2}=0,250\cdot 576=144\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Relacionar a tensão com a massa que pende: no equilíbrio estático, a massa m fornece a força peso que iguala a tensão, isto é,
T=m g,
onde g é a aceleração da gravidade. Tomando g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}, obtemos
m=\frac{T}{g}=\frac{144}{9,8}\approx 14,693877\\ \mathrm{kg}.
Arredondando com três algarismos significativos:
m\approx 14,7\\ \mathrm{kg}.

Resposta

m\approx 14,7\\ \mathrm{kg}

Exercícios relacionados