Uma onda senoidal em uma corda é descrita pela função de onda
), onde
e
estão em metros e
em segundos. A corda possui uma densidade linear de massa igual a
. A corda é presa a uma massa
, que a tensiona. Calcule o valor desta massa.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a massa
que tensiona a corda. As informações fornecidas são:
- Função de onda:
, com e em metros e em segundos. - Densidade linear de massa da corda:
. - A corda está presa a uma massa
que fornece a tensão (presume-se equilíbrio estático, logo ).
O objetivo final é encontrar.
Passo 2
Identificar os parâmetros da onda a partir da função. A forma geral de uma onda harmônica é, por exemplo,
onde:
-
é a amplitude (em metros), -
é o número de onda (em ), -
é a frequência angular (em ).
Comparando com a função dada, temos:
Passo 3
Relacionar velocidade de propagação da onda com
e
. A velocidade de fase (módulo da velocidade de propagação) de uma onda harmônica é dada por
porque
mede quão rápido a fase muda no tempo e
mede quão rápido muda no espaço; a razão dá a velocidade em
.
Aplicando os valores obtidos:
(As
cancelam.)
Passo 4
Conectar velocidade da onda com a tensão da corda. Para ondas transversais em uma corda tensa homogênea vale a relação
onde:
-
é a velocidade da onda ( ), -
é a tensão na corda ( ), -
é a densidade linear de massa ( ).
Reorganizando para obter:
Passo 5
Calcular a tensão
numericamente usando
e
:
Passo 6
Relacionar a tensão com a massa que pende: no equilíbrio estático, a massa
fornece a força peso que iguala a tensão, isto é,
onde
é a aceleração da gravidade. Tomando
, obtemos
Arredondando com três algarismos significativos: