A função de onda Psi(x, t)=A e^i(k1 x-omega1 t)+A e^i(k2 x-omega2 t) é uma superposição de duas funções de onda de partícula livre. Tanto k1 quanto k2 são grandezas positivas.
Encontre a função de distribuição de probabilidade |Psi(x, t)|^2.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma função de onda de partícula livre que é a soma de duas “ondas planas”:
Psi(x,t) ;=; A,e^i(k1 x-omega1 t) ;+; A,e^i(k2 x-omega2 t)
Onde e são positivas. A matéria envolvida aqui é a interpretação de Born em mecânica quântica: a densidade de probabilidade é . Para resolver, vamos usar:
  1. como tirar o conjugado complexo de uma soma de exponenciais;
  2. a identidade trigonométrica vezes o seu conjugado;
  3. a relação .

Passo 2

Primeiro, escrevemos o conjugado complexo Psi^*(x,t) = A^*,e^-i(k1 x-omega1 t) ;+; A^*,e^-i(k2 x-omega2 t) . Lembra que o conjugado troca por . Então:
Como costuma ser escolhido real (ou a gente só manda o módulo ), dá pra tratar .

Passo 3

Agora vamos calcular |Psi|^2 = l[A,e^-i(k1 x-omega1 t) + A,e^-i(k2 x-omega2 t)r] l[A,e^,i(k1 x-omega1 t) + A,e^,i(k2 x-omega2 t)r] . Multiplicamos termo a termo:

Passo 4

Expandindo os quatro termos, dá:
|Psi|^2 = A^2l[1 + 1 + e^,il[(k1-k2)x-(omega1-omega2)tr] + e^-il[(k1-k2)x-(omega1-omega2)tr]r]
Os dois primeiros “1” vêm de para cada onda com ela mesma.

Passo 5

Agora usamos a identidade
e^iDe
com |Psi|^2 = A^2l[2 + 2cosl((k1-k2)x - (omega1-omega2)tr)r] . Assim:

Resposta

boxed|Psi(x,t)|^2 ;=; A^2,l[2 + 2cosl((k1-k2)x - (omega1-omega2)tr)r]

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