função de onda
é uma superposição de duas funções de onda de partícula livre. Tanto
quanto
são grandezas positivas.
Mostre que essa função de onda satisfaz à equação de Schrödinger para uma partícula livre de massa
.
Mostre que essa função de onda satisfaz à equação de Schrödinger para uma partícula livre de massa
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a função de onda
é uma superposição de duas ondas planas de partícula livre de massa
.
Conteúdo da matéria: Equação de Schrödinger dependente do tempo para partícula livre, que é
Conteúdo da matéria: Equação de Schrödinger dependente do tempo para partícula livre, que é
O que vamos precisar:
- Saber que a equação é linear (podemos checar para cada termo e somar).
- Calcular derivadas parciais em
e em . - Usar a relação de dispersão para partícula livre:
, para .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada temporal
.
Cada termo é
Cada termo é
Então,
Passo 3
Multiplicamos por
(lado esquerdo da Schrödinger):
Passo 4
Agora, a derivada segunda em
,
.
Para cada termo:
Para cada termo:
Logo,
Passo 5
Multiplicamos por
(lado direito da Schrödinger):
Passo 6
Para que a Schrödinger se cumpra, precisamos ter
ou seja, que
Isso é exatamente a relação de dispersão da partícula livre:
.
Resposta
Como a relação
vale para
, cada termo da superposição satisfaz a equação de Schrödinger livre, e pela linearidade a soma também satisfaz. Portanto