A função de onda Psi(x, t)=A e^i(k1 x-omega1 t)+A e^i(k2 x-omega2 t) é uma superposição de duas funções de onda de partícula livre. Tanto k1 quanto k2 são grandezas positivas.
Mostre que essa função de onda satisfaz à equação de Schrödinger para uma partícula livre de massa m.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a função de onda
Psi(x,t)=A,e^i(k1x-omega1t) ;+; A,e^i(k2x-omega2t)
é uma superposição de duas ondas planas de partícula livre de massa ihbar,partialPsipartial t ;=; -hbar^22m,partial^2Psipartial x^2, .
Conteúdo da matéria: Equação de Schrödinger dependente do tempo para partícula livre, que é
O que vamos precisar:
  • Saber que a equação é linear (podemos checar para cada termo e somar).
  • Calcular derivadas parciais em e em .
  • Usar a relação de dispersão para partícula livre:
    , para .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada temporal partialpartial tl(A,e^i(kix-omegai t)r) = A,l(i(-omegai)r),e^i(kix-omegai t) = -iomegai,A,e^i(kix-omegai t) .
Cada termo é
partialPsipartial t = -iomega1 A,e^i(k1x-omega1t) -iomega2 A,e^i(k2x-omega2t)
Então,

Passo 3

Multiplicamos por ihbar,partialPsipartial t = ihbarl(-iomega1 A,e^i(k1x-omega1t) -iomega2 A,e^i(k2x-omega2t)r) = hbaromega1 A,e^i(k1x-omega1t) + hbaromega2 A,e^i(k2x-omega2t) (lado esquerdo da Schrödinger):

Passo 4

Agora, a derivada segunda em partialpartial xl(A,e^i(kix-omegai t)r) = i ki,A,e^i(kix-omegai t), partial^2partial x^2l(A,e^i(kix-omegai t)r) = (i ki)^2,A,e^i(kix-omegai t) = -ki^2,A,e^i(kix-omegai t) , partial^2Psipartial x^2 = -k1^2 A,e^i(k1x-omega1t) -k2^2 A,e^i(k2x-omega2t) .
Para cada termo:
Logo,

Passo 5

Multiplicamos por -hbar^22m,partial^2Psipartial x^2 = -hbar^22ml(-k1^2 A,e^i(k1x-omega1t) -k2^2 A,e^i(k2x-omega2t)r) = hbar^2 k1^22m A,e^i(k1x-omega1t) + hbar^2 k2^22m A,e^i(k2x-omega2t) (lado direito da Schrödinger):

Passo 6

Para que a Schrödinger se cumpra, precisamos ter
ihbar,partialPsipartial t ;=; -hbar^22m,partial^2Psipartial x^2,
ou seja, que
hbaromegai = hbar^2 ki^22m para i=1,2
Isso é exatamente a relação de dispersão da partícula livre:
.

Resposta

Como a relação boxedPsi(x,t)=A,e^i(k1x-omega1t) + A,e^i(k2x-omega2t) satisfaz ihbarpartialPsipartial t =-hbar^22mpartial^2Psipartial x^2 vale para , cada termo da superposição satisfaz a equação de Schrödinger livre, e pela linearidade a soma também satisfaz. Portanto

Exercícios relacionados