Encontre a matriz de relação às bases e , e a matriz , sendo a base canônica.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear e duas bases ordenadas: a base do domínio com , , e a base do contradomínio com , , .
Queremos achar a matriz , cujas colunas são as coordenadas de em , e depois a matriz , onde é a base canônica de . Para isso, vamos calcular e no sistema canônico e então resolver sistemas lineares para obter suas coordenadas em .
Passo 2
Calcular as imagens dos vetores de no sistema canônico:
Passo 3
Expressar
Isso dá o sistema
Da primeira equação . Da terceira .
Logo .
Passo 4
Expressar
O sistema é
Da primeira . Da terceira .
Logo .
Passo 5
Montamos [T]B^A cujas colunas são [T(v1)]B e [T(v2)]B:
[T]B^A = 4 & 1 5 & 2 -3 & 3
Passo 6
Para [T]C^A, usamos o fato de que o sistema canônico C tem coordenadas idênticas aos vetores em R^3. Assim as colunas são simplesmente T(v1) e T(v2) em coordenadas canônicas: