Considere:
R^2 com a base ordenada
A=(-1,1),(2,1)
R^3 com a base ordenada
B=(0,0,1),(0,1,-1),(1,1,0)
A transformação linear T: R^2 R^3 dada por
T(x, y)=(2 x-y, x+3 y,-y)
Encontre a matriz [T]B^A de T com relação às bases A e B, e a matriz [T]C^A, sendo C a base canônica.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear TcolonR^2toR^3 e duas bases ordenadas: a base do domínio
A=v1,v2 com v1=(-1,1), v2=(2,1), e a base do contradomínio
B=b1,b2,b3 com b1=(0,0,1), b2=(0,1,-1), b3=(1,1,0).
Queremos achar a matriz [T]B^A, cujas colunas são as coordenadas de T(vj) em B, e depois a matriz [T]C^A, onde C é a base canônica de R^3. Para isso, vamos calcular T(v1) e T(v2) no sistema canônico e então resolver sistemas lineares para obter suas coordenadas em B.

Passo 2

Calcular as imagens dos vetores de A no sistema canônico:
T(v1)=T(-1,1)=(2cdot(-1)-1,;(-1)+3cdot1,;-1)=(-3,2,-1),
T(v2)=T(2,1)=(2cdot2-1,;2+3cdot1,;-1)=(3,5,-1)

Passo 3

Expressar
Isso dá o sistema
Da primeira equação . Da terceira .
Logo .

Passo 4

Expressar
O sistema é
Da primeira . Da terceira .
Logo .

Passo 5

Montamos [T]B^A cujas colunas são [T(v1)]B e [T(v2)]B:
[T]B^A = 4 & 1 5 & 2 -3 & 3

Passo 6

Para [T]C^A, usamos o fato de que o sistema canônico C tem coordenadas idênticas aos vetores em R^3. Assim as colunas são simplesmente T(v1) e T(v2) em coordenadas canônicas:
[T]C^A = -3 & 3 2 & 5 -1 & -1

Resposta

[T]B^A=4 & 15 & 2-3 & 3
[T]C^A=-3 & 32 & 5-1 & -1

Exercícios relacionados