Para a função polinômial f(x)=-2 x^3+6 x, responda o que se pede:
(b) (1,0 ponto) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão da função polinomial $ f(x) = -2x^3 + 6x $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente as derivadas segunda da função. A segunda derivada nos ajuda a entender como a curvatura da função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.
f(x)

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos informa sobre a concavidade da função.
f''(x) = ddx(-6x^2 + 6) = -12x

Passo 4

Para determinar os intervalos de concavidade, vamos analisar o sinal da segunda derivada $ f’’(x) $:
  • Se $ f’’(x) > 0 $, a função é côncava para cima.
  • Se $ f’’(x) < 0 $, a função é côncava para baixo.

Passo 5

Vamos resolver a equação $ f’’(x) = 0 $ para encontrar possíveis pontos de inflexão:
f''(x) = 0

Passo 6

Agora, vamos analisar os intervalos definidos por $ x = 0 $:
  • Para $ x < 0 $:
    x = 0 áé
    Portanto, a função é côncava para cima nesse intervalo.
  • Para $ x > 0 $:
    x < 0 áé
    Portanto, a função é côncava para baixo nesse intervalo.

Passo 7

Como a concavidade muda de cima para baixo no ponto $ x = 0 $, esse ponto é um ponto de inflexão. Vamos encontrar as coordenadas desse ponto substituindo $ x = 0 $ na função original:
x = 0
Então, o ponto de inflexão é $ (0, 0) $.

Resposta

A função $ f(x) = -2x^3 + 6x $ apresenta:
  • Concavidade para cima no intervalo $ x < 0 $.
  • Concavidade para baixo no intervalo $ x > 0 $.
  • Ponto de inflexão em $ (0,\ 0) $.

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