Para a função polinômial
, responda o que se pede:
(b) (1,0 ponto) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(b) (1,0 ponto) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão da função polinomial $ f(x) = -2x^3 + 6x $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente as derivadas segunda da função. A segunda derivada nos ajuda a entender como a curvatura da função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos informa sobre a concavidade da função.
Passo 4
Para determinar os intervalos de concavidade, vamos analisar o sinal da segunda derivada $ f’’(x) $:
- Se $ f’’(x) > 0 $, a função é côncava para cima.
- Se $ f’’(x) < 0 $, a função é côncava para baixo.
Passo 5
Vamos resolver a equação $ f’’(x) = 0 $ para encontrar possíveis pontos de inflexão:
Passo 6
Agora, vamos analisar os intervalos definidos por $ x = 0 $:
-
Para $ x < 0 $:Portanto, a função é côncava para cima nesse intervalo.
-
Para $ x > 0 $:Portanto, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
Passo 7
Como a concavidade muda de cima para baixo no ponto $ x = 0 $, esse ponto é um ponto de inflexão. Vamos encontrar as coordenadas desse ponto substituindo $ x = 0 $ na função original:
Então, o ponto de inflexão é $ (0, 0) $.
Resposta
A função $ f(x) = -2x^3 + 6x $ apresenta:
- Concavidade para cima no intervalo $ x < 0 $.
- Concavidade para baixo no intervalo $ x > 0 $.
- Ponto de inflexão em $ (0,\ 0) $.