Para a função polinômial f(x)=-2 x^3+6 x, responda o que se pede:
(a) (1,0 ponto) Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento e os pontos críticos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para analisar a função polinomial $ f(x) = -2x^{3} + 6x $. O que precisamos fazer aqui é encontrar onde a função está crescendo, onde está decrescendo e identificar os pontos críticos. Para isso, vamos usar o conceito de derivada da matéria de Cálculo, que nos ajuda a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função são determinados pelo sinal da sua derivada. Se a derivada $ f’(x) $ for positiva em um intervalo, a função está crescendo nesse intervalo. Se for negativa, está decrescendo.

Passo 3

Vamos então calcular a derivada da função $ f(x) = -2x^{3} + 6x $. A derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $. Aplicando isso aqui:
f(x) = -2x^3 + 6x

Passo 4

Agora que temos $ f’(x) = -6x^{2} + 6 $, vamos encontrar os pontos críticos. Os pontos críticos são onde a derivada é igual a zero ou não existe. Nesse caso, a derivada existe para todo $ x $, então vamos resolver $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = -6x^2 + 6
Então, os pontos críticos estão em $ x = 1 $ e $ x = -1 $.

Passo 5

Agora vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Vamos analisar o sinal de $ f’(x) $ nos intervalos definidos pelos pontos críticos $ x = -1 $ e $ x = 1 $:
  1. Para $ x < -1 $:
    f'(x)
    Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
  2. Para $ -1 < x < 1 $:
    x = -1
    Então, a função está crescendo nesse intervalo.
  3. Para $ x > 1 $:
    x = 1
    Então, a função está decrescendo nesse intervalo.

Resposta

A função $ f(x) = -2x^{3} + 6x $ está crescendo no intervalo $ (-1, 1) $, decrescendo nos intervalos $ (-\infty, -1) $ e $ (1, +\infty) $. Os pontos críticos são $ x = -1 $ e $ x = 1 $.

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