Para a função polinômial
, responda o que se pede:
(a) (1,0 ponto) Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento e os pontos críticos.
(a) (1,0 ponto) Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento e os pontos críticos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para analisar a função polinomial $ f(x) = -2x^{3} + 6x $. O que precisamos fazer aqui é encontrar onde a função está crescendo, onde está decrescendo e identificar os pontos críticos. Para isso, vamos usar o conceito de derivada da matéria de Cálculo, que nos ajuda a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função são determinados pelo sinal da sua derivada. Se a derivada $ f’(x) $ for positiva em um intervalo, a função está crescendo nesse intervalo. Se for negativa, está decrescendo.
Passo 3
Vamos então calcular a derivada da função $ f(x) = -2x^{3} + 6x $. A derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $. Aplicando isso aqui:
Passo 4
Agora que temos $ f’(x) = -6x^{2} + 6 $, vamos encontrar os pontos críticos. Os pontos críticos são onde a derivada é igual a zero ou não existe. Nesse caso, a derivada existe para todo $ x $, então vamos resolver $ f’(x) = 0 $:
Então, os pontos críticos estão em $ x = 1 $ e $ x = -1 $.
Passo 5
Agora vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Vamos analisar o sinal de $ f’(x) $ nos intervalos definidos pelos pontos críticos $ x = -1 $ e $ x = 1 $:
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Para $ x < -1 $:Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
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Para $ -1 < x < 1 $:Então, a função está crescendo nesse intervalo.
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Para $ x > 1 $:Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
Resposta
A função $ f(x) = -2x^{3} + 6x $ está crescendo no intervalo $ (-1, 1) $, decrescendo nos intervalos $ (-\infty, -1) $ e $ (1, +\infty) $. Os pontos críticos são $ x = -1 $ e $ x = 1 $.