Quando uma função polinomial do primeiro grau verifica: f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) ? Esta propriedade vale ou não para: f(x)=2 x+1?

Passo 1

A questão pede para saber em que situação uma função polinomial de 1º grau satisfaz a propriedade de aditividade f(x1+x2)=f(x1)+f(x2). Vamos representar a função genérica como f(x)=ax+b e descobrir as condições sobre a e b.

Passo 2

Para a função f(x)=ax+b, calculemos cada lado da igualdade:
O lado esquerdo é
f(x1+x2)=a(x1+x2)+b = a x1 + a x2 + b
O lado direito é
f(x1)+f(x2)=(ax1+b)+(ax2+b)=a x1 + a x2 + 2b

Passo 3

Agora igualamos as duas expressões:
a x1 + a x2 + b = a x1 + a x2 + 2b
Cancelando a x1 + a x2 de ambos os lados, obtemos:
b = 2b Longrightarrow b = 0

Passo 4

Concluímos que apenas as funções da forma f(x)=ax, ou seja, cuja constante b=0, satisfazem a aditividade f(x1+x2)=f(x1)+f(x2).

Passo 5

No caso específico f(x)=2x+1, temos b=1neq0, portanto a propriedade não vale. Por exemplo, se x1=1 e x2=2:
f(1+2)=f(3)=2cdot3+1=7
mas
f(1)+f(2)= (2cdot1+1)+(2cdot2+1)=3+5=8
logo 7neq8, confirmando que a aditividade não ocorre.

Passo 6

Resposta final: a propriedade f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) vale somente se b=0. Para f(x)=2x+1 não vale.

Resposta

A aditividade ocorre só quando b=0, ou seja, f(x)=ax. Em f(x)=2x+1 (onde b=1) a propriedade não se verifica.

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