Quando uma função polinomial do primeiro grau verifica: f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) ? Esta propriedade vale ou não para: f(x)=x^2

Passo 1

O enunciado pede para descobrir em que condições uma função polinomial de primeiro grau satisfaz a propriedade de aditividade f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) e depois verificar se ela vale para f(x)=x^2. Vamos usar a forma geral de um polinômio de 1º grau f(x)=ax+b.

Passo 2

Começando por calcular f(x1 + x2). Temos:
f(x1 + x2) = a(x1 + x2) + b = a x1 + a x2 + b
Em seguida, somamos f(x1) e f(x2):
f(x1) + f(x2) = (a x1 + b) + (a x2 + b) = a x1 + a x2 + 2b

Passo 3

Para que f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) seja verdade para todo x1,x2, os dois resultados acima precisam ser iguais. Ou seja, precisamos de
a x1 + a x2 + b = a x1 + a x2 + 2b
Isso só ocorre se b = 2b, o que implica b = 0.

Passo 4

Concluímos então que a única forma de um polinômio de 1º grau ser aditivo é não ter termo constante, ficando f(x)=ax.

Passo 5

Agora, para f(x)=x^2, avaliamos:
f(x1 + x2) = (x1 + x2)^2 = x1^2 + 2x1x2 + x2^2
f(x1) + f(x2) = x1^2 + x2^2
Como aparece o termo 2x1x2 em f(x1 + x2) e ele não está em f(x1)+f(x2), a igualdade não vale para todos x1,x2.

Resposta

Uma função polinomial de 1º grau satisfaz f(x1 + x2)=f(x1)+f(x2) se, e somente se, for da forma f(x)=ax (ou seja, b=0). Para f(x)=x^2 a propriedade não vale.

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