Verifique que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função inversa da cosecante hiperbólica, que chamamos de
, pode ser escrita como
Vamos usar a definição de e resolver para
.
Passo 2
Definindo
significa
Também sabemos que
então substituímos na equação de
.
Passo 3
Substituindo
obtemos
Multiplicando ambos os lados por
vem
Passo 4
Chamando
, a equação fica
ou seja
Isso é uma equação quadrática em
.
Passo 5
Resolvendo a quadrática por Bhaskara:
Como
, escolhemos o sinal
.
Passo 6
Logo
Agora basta aplicar
.
Passo 7
Portanto chegamos em
o que completa a verificação.
Passo 8
Observação: o domínio
garante que esteja bem definido e que
não zere no denominador.