Verifique que: argcotgh(x)=ln (1x+raizx^2+1|x|), x neq 0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função inversa da cosecante hiperbólica, que chamamos de y=arccsch(x), pode ser escrita como
y=lnl(1x+raizx^2+1|x|r), xneq0
Vamos usar a definição de e resolver para csch(y)=1/sinh(y).

Passo 2

Definindo y=arccsch(x) significa
Também sabemos que
x=csch(y)=1sinh(y)
então substituímos na equação de sinh(y)=e^y-e^-y2, .

Passo 3

Substituindo sinh(y) obtemos
x=1sinh(y)=2e^y-e^-y
Multiplicando ambos os lados por e^y-e^-y vem
e^y-e^-y=2x

Passo 4

Chamando u=e^y, a equação fica
u-1u=2x,
ou seja
u^2-2x,u-1=0
Isso é uma equação quadrática em u.

Passo 5

Resolvendo a quadrática por Bhaskara:
u=tfrac2xpmraiztfrac4x^2+42 =1xpmraiz1x^2+1
Como u=e^y>0, escolhemos o sinal +.

Passo 6

Logo
e^y=1x+raiz1x^2+1 =1x+raizx^2+1|x|
Agora basta aplicar y=ln(e^y).

Passo 7

Portanto chegamos em
y=lnl(1x+raizx^2+1|x|r),
o que completa a verificação.

Passo 8

Observação: o domínio xneq0 garante que esteja bem definido e que csch(y) não zere no denominador.

Resposta

arccsch(x)=lnl(tfrac1x+tfracraizx^2+1|x|r), xneq0

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