Quando uma função polinomial do primeiro grau verifica: f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) ? Esta propriedade vale ou não para: f(x)=3 x?

Passo 1

A questão é sobre funções polinomiais do primeiro grau e quando elas são aditivas, isto é, satisfazem f(x₁ + x₂) = f(x₁) + f(x₂). Vamos trabalhar com a forma geral f(x) = a x + b.

Passo 2

Calculo f(x₁ + x₂) usando a forma geral:
f(x₁ + x₂) = a(x₁ + x₂) + b = a x₁ + a x₂ + b
Calculo f(x₁) + f(x₂) também:
f(x₁) + f(x₂) = (a x₁ + b) + (a x₂ + b) = a x₁ + a x₂ + 2b

Passo 3

Para ter aditividade, igualo as expressões e vejo a condição sobre b:
a x₁ + a x₂ + b = a x₁ + a x₂ + 2b implies b = 2b implies b = 0

Passo 4

Concluo que a propriedade vale se e somente se b = 0, ou seja, f(x) = a x. No caso particular f(x)=3x temos b=0, logo a aditividade vale para qualquer x₁ e x₂.

Resposta

A função polinomial do 1º grau satisfaz f(x₁ + x₂) = f(x₁) + f(x₂) se e somente se b = 0 (isto é, f(x)=ax). No caso de f(x)=3x a propriedade vale.

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