Verifique que: argcotgh(x)=ln (raizx+1x-1),|x|>1

Passo 1

O enunciado pede para verificar que argcotgh(x) = lnl(raizx+1x-1r) para |x|>1. Aqui vamos trabalhar com funções hiperbólicas, usando a definição de coth em termos de exponenciais e resolvendo a equação x=coth(y) para y.

Passo 2

Definindo y=argcotgh(x), temos por inversão da função coth a relação
x = coth(y) = e^y + e^-ye^y - e^-y

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados de x = tfrace^y + e^-ye^y - e^-y pelo denominador para eliminar a fração, chegando a
xl(e^y - e^-yr) = e^y + e^-y

Passo 4

Reunimos termos para isolar e^y e e^-y:
x e^y - x e^-y = e^y + e^-y
o que rearranja-se em
e^y(x-1) = e^-y(x+1)
Multiplicando ambos os lados por e^y obtemos
e^2y = x+1x-1

Passo 5

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados e isolamos y:
2y = lnl(x+1x-1r) Longrightarrow y = 12lnl(x+1x-1r) = lnl(raizx+1x-1r)

Resposta

lnl(raiztfracx+1x-1r)

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