Se f(x)=x+1x-1, determine Dom(f) e calcule: (f circ f)(11-x)

Passo 1

O enunciado pede para achar o domínio de f(x)=x+1x-1 e depois calcular (fcirc f)l(tfrac11-xr). O tema aqui é função racional e composição de funções. Vamos precisar usar a condição de denominador não nulo para o domínio e depois aplicar duas vezes a definição de f e simplificar frações.

Passo 2

Para encontrar o domínio de f, basta exigir que o denominador não seja zero. Ou seja,
x-1neq0,
Logo
Dom(f)=xinRmid xneq1

Passo 3

Agora vamos calcular fl(tfrac11-xr). Defina t=tfrac11-x. Então
f(t)=t+1t-1
Substituindo t=tfrac11-x:
t+1=11-x+1=1+(1-x)1-x=2-x1-x,
$$t-1=\frac{1}{1-x}-1=\frac{1-(1-x)}{1-x}=\frac{x}{1-x}.
t-1=11-x-1=1-(1-x)1-x=x1-x f\Bigl(\frac{1}{1-x}\Bigr)=\frac{\frac{2-x}{1-x}}{\frac{x}{1-x}}=\frac{2-x}{x},$$
com a condição adicional fl(11-xr)=2-x1-xx1-x=2-xx, (para não anular o denominador em xneq0).

Passo 4

Agora aplicamos f novamente a u=2-xx:
$$f(u)=\frac{u+1}{u-1}.
f(u)=u+1u-1 u+1=\frac{2-x}{x}+1=\frac{2-x+x}{x}=\frac{2}{x},$$
$$u-1=\frac{2-x}{x}-1=\frac{2-x-x}{x}=\frac{2-2x}{x}.
u=tfrac2-xxf\Bigl(\frac{2-x}{x}\Bigr)=\frac{\frac{2}{x}}{\frac{2-2x}{x}}=\frac{2}{2-2x}=\frac{1}{1-x},$$
com a condição extra u+1=2-xx+1=2-x+xx=2x, (para não anular u-1=2-xx-1=2-x-xx=2-2xx ).

Passo 5

Portanto, sob as restrições xneq0,1, obtemos o valor da composição.

Resposta

Dom(f)=xinRmid xneq1 e (fcirc f)(tfrac11-x)=tfrac11-x, válido para xneq0,1.

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