A função posição \mathrm{x}(\mathrm{t}) de uma partícula que está se movendo ao longo do eixo x é \mathrm{x}= 4,0-6,0 t^2, com x em metros e t em segundos. (a) Em que instante e (b) em que posição a partícula para (momentaneamente)? Em que (c) instante negativo e (d) instante positivo a partícula passa pela origem? (e) Plote o gráfico de x em função de t para o intervalo de -5 s \mathrm{a}+5 \mathrm{~s}. (f) Para deslocar a curva para a direita no gráfico, devemos acrescentar a \mathrm{x}(\mathrm{t}) \mathrm{o} termo +20 t ou o termo-20 t? (g) Essa modificação aumenta ou diminui o valor de x para o qual a partícula para momentaneamente?

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo x como
x(t)=4{,}0 - 6{,}0\,t^2,
com x em metros e t em segundos. Vamos usar os conceitos de cinemática unidimensional: derivada para obter a velocidade, equação da posição para achar zeros (passagem pela origem) e a forma canônica da parábola para discutir translações horizontais.

Passo 2

A velocidade é a derivada de x(t).
v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(4 - 6t^2\bigr)=-12\,t.
Para a partícula parar momentaneamente, basta pôr v(t)=0, o que dá
-12\,t=0\quad\Longrightarrow\quad t=0.

Passo 3

A posição nesse instante é
x(0)=4 - 6\cdot0^2=4\text{ m}.

Passo 4

Para achar em que instantes passa pela origem, resolvemos
4 - 6\,t^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t^2=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad t=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\approx\pm0{,}816\text{ s}.
Assim, o instante negativo é t=-\sqrt{2/3} e o instante positivo é t=+\sqrt{2/3}.

Passo 5

O gráfico de x versus t para -5\le t\le5 é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de t^2 negativo), com vértice em (0,4) e raízes em \pm0{,}816. Em t=\pm5 tem-se
x(\pm5)=4-6\cdot25=4-150=-146\text{ m}.
Na prática, basta desenhar uma parábola com esses três pontos principais.

Passo 6

Se adicionarmos um termo linear B\,t, a posição fica
x(t)=4 - 6\,t^2 + B\,t,
e o vértice ocorre em
t_v=-\frac{B}{2A}=-\frac{B}{2(-6)}=\frac{B}{12}.
Para deslocar o vértice para a direita t_v>0, precisamos de B>0.
Logo, o termo correto é +20\,t (e não -20\,t).

Passo 7

Com B=20, o novo instante de parada é
t_v=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}\text{ s},
e a posição correspondente (vértice) vale
x_v =4 - \frac{20^2}{4(-6)} =4 + \frac{400}{24} =4 + \frac{50}{3} =\frac{62}{3}\approx20{,}67\text{ m}.
Comparado a 4 m, esse valor é maior, ou seja, a modificação aumenta a posição em que a partícula para momentaneamente.

Resposta

(a) t=0.
(b) x=4 m.
(c) t=-\sqrt{2/3}\approx -0{,}816 s.
(d) t=+\sqrt{2/3}\approx +0{,}816 s.
(e) Parábola voltada para baixo, vértice em (0,4), raízes em \pm0{,}816 s e pontos (-5,-146), (5,-146).
(f) Acrescentar o termo +20\,t.
(g) A posição de parada momentânea aumenta (passa de 4 m para \approx20{,}67 m).

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