A posição de uma partícula é dada por:
x(t)=8 t 4-3 t 2+5 t(m) x(t)=8 t^{\wedge} 4-3 t^{\wedge} 2+5 t lquad (m) x(t)=8 t 4-3 t 2+5 t(m)
a) Determine a função da velocidade \mathrm{v}(\mathrm{t}) \mathrm{v}(\mathrm{t}) \mathrm{v}(\mathrm{t}).
b) Determine a função da aceleração a(t) a(t) a(t).
c) Calcule vvv e aaa no instante t=2 s t=2 \backslash, s t=2 s.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição de uma partícula em função do tempo:
x(t)=8\,t^4-3\,t^2+5\,t.
Pede-se a função velocidade v(t), a função aceleração a(t) e os valores de v e a no instante t=2 s. O conteúdo envolve derivação de polinômios.

Passo 2

Para obter a velocidade, usamos
v(t)=\frac{dx}{dt}
e aplicamos a regra do poder termo a termo:
v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(8t^4\bigr)-\frac{d}{dt}\bigl(3t^2\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(5t\bigr) =32t^3-6t+5.

Passo 3

Para a aceleração, usamos
a(t)=\frac{dv}{dt}
e derivamos v(t) novamente:
a(t)=\frac{d}{dt}\bigl(32t^3\bigr)-\frac{d}{dt}\bigl(6t\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(5\bigr) =96t^2-6.

Passo 4

Substituindo t=2 s em v(t) e a(t):
v(2)=32\cdot2^3-6\cdot2+5=256-12+5=249\\ \mathrm{m/s},
a(2)=96\cdot2^2-6=384-6=378\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

a) v(t)=32t^3-6t+5
b) a(t)=96t^2-6
c) v(2)=249\,\mathrm{m/s}, a(2)=378\,\mathrm{m/s^2}

Exercícios relacionados