A função de probabilidade conjunta de (X, Y) é dada por:
p(x, y)=r k(2 xi+yi), se xi=1,2 ; yi=1,2, 0, Caso contrário, á
onde k e uma constante.
a) Encontre o valor de k.
b) Encontre a função de probabilidade marginal de X e Y;
c) X e Y sao independentes?
d) Determine Cov(X, Y);
e) Determine rho(X, Y);
f) Encontre P(Y=2 mid X=2) e P(X=2 mid Y=2)

Passo 1

O enunciado traz a função de probabilidade conjunta de duas variáveis discretas X e Y, definidas em 1,2, como p(x,y)=kl(2x+yr) e zero fora desses valores. O conteúdo é normalização de probabilidade, marginais, independência, momentos, covariância, correlação e probabilidade condicional.

Passo 2

Para achar k usamos a condição sumx=1^2sumy=1^2 p(x,y)=1. Calculamos
sumx=1^2sumy=1^2 k(2x+y)=kl(3+4+5+6r)=18k=1
Logo, k=tfrac118.

Passo 3

A função marginal de X vem de pX(x)=sumy=1^2 p(x,y):
pX(1)=3+418=718, pX(2)=5+618=1118
E de modo análogo para Y:
pY(1)=3+518=818=49, pY(2)=4+618=1018=59

Passo 4

Para testar independência, basta ver se p(1,1)=tfrac318 é igual a pX(1)pY(1)=tfrac718cdottfrac818=tfrac56324. Como tfrac318neqtfrac56324, conclui-se que X e Y não são independentes.

Passo 5

Para a covariância, precisamos de E[X], E[Y] e E[XY]:
E[X]=1cdot718+2cdot1118=2918,
E[Y]=1cdot818+2cdot1018=149,
E[XY]=sumx,yxy,p(x,y)=3+8+10+2418=4518=52
Então
Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=52-2918cdot149=-1162

Passo 6

Para o coeficiente de correlação, calculamos Var(X) e Var(Y):
Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2=5118-l(2918r)^2=77324,
Var(Y)=E[Y^2]-(E[Y])^2=83-l(149r)^2=2081
Logo
rho(X,Y)=Cov(X,Y)raizVar(X),Var(Y)=-1/162raiz(77/324)(20/81)=-1raiz1540

Passo 7

As probabilidades condicionais ficam:
P(Y=2mid X=2)=p(2,2)pX(2)=6/1811/18=611,
P(X=2mid Y=2)=p(2,2)pY(2)=6/1810/18=35

Resposta

a) k=tfrac118
b) pX(1)=7/18, pX(2)=11/18; pY(1)=4/9, pY(2)=5/9
c) Não são independentes
d) Cov(X,Y)=-1/162
e) rho(X,Y)=-1/raiz1540
f) P(Y=2mid X=2)=6/11, P(X=2mid Y=2)=3/5

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