Seja X sim poisson(lambda) sua função geradora de momentos e dada por
MX(t)=e^lambda(e^t-1)
Determine os dois primeiros momentos de X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro $ \lambda $. A função geradora de momentos (FGM) dela é dada por:
X
O objetivo aqui é descobrir os dois primeiros momentos dessa distribuição, ou seja, a média $ E(X) $ e o valor esperado do quadrado $ E(X^2) $. Para isso, vamos usar a FGM e entender como ela nos ajuda a encontrar esses momentos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função geradora de momentos. A FGM de uma variável aleatória $ X $ é definida como:
X
Essa função é super útil porque, ao derivarmos ela em relação a $ t $ e avaliarmos em $ t = 0 $, conseguimos os momentos da distribuição. Mais especificamente:
  • A primeira derivada $ M’_X(t) $ avaliada em $ t = 0 $ nos dá a média $ E(X) $.
  • A segunda derivada $ M’’_X(t) $ avaliada em $ t = 0 $ nos dá $ E(X^2) $.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada da FGM:
MX(t) = e^lambda(e^t-1)
A primeira derivada em relação a $ t $ é:
t
Agora, avaliamos essa derivada em $ t = 0 $ para encontrar a média $ E(X) $:
M'X(t) = lambda e^t cdot e^lambda(e^t-1) = lambda e^t MX(t)
Então, a média $ E(X) = \lambda $.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda derivada para encontrar $ E(X^2) $. Derivamos $ M’_{X}(t) $ novamente em relação a $ t $:
E(X^2)
Substituindo $ M’_{X}(t) $ que já sabemos:
M'X(t)
Agora, avaliamos em $ t = 0 $:
t
Então, $ E(X^2) = \lambda + \lambda^2 $.

Resposta

Os dois primeiros momentos de $ X $ são:
X
e
E(X) = lambda

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