Seja
sua função geradora de momentos e dada por
Determine os dois primeiros momentos de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro $ \lambda $. A função geradora de momentos (FGM) dela é dada por:
O objetivo aqui é descobrir os dois primeiros momentos dessa distribuição, ou seja, a média $ E(X) $ e o valor esperado do quadrado $ E(X^2) $. Para isso, vamos usar a FGM e entender como ela nos ajuda a encontrar esses momentos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função geradora de momentos. A FGM de uma variável aleatória $ X $ é definida como:
Essa função é super útil porque, ao derivarmos ela em relação a $ t $ e avaliarmos em $ t = 0 $, conseguimos os momentos da distribuição. Mais especificamente:
- A primeira derivada $ M’_X(t) $ avaliada em $ t = 0 $ nos dá a média $ E(X) $.
- A segunda derivada $ M’’_X(t) $ avaliada em $ t = 0 $ nos dá $ E(X^2) $.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada da FGM:
A primeira derivada em relação a $ t $ é:
Agora, avaliamos essa derivada em $ t = 0 $ para encontrar a média $ E(X) $:
Então, a média $ E(X) = \lambda $.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda derivada para encontrar $ E(X^2) $. Derivamos $ M’_{X}(t) $ novamente em relação a $ t $:
Substituindo $ M’_{X}(t) $ que já sabemos:
Agora, avaliamos em $ t = 0 $:
Então, $ E(X^2) = \lambda + \lambda^2 $.
Resposta
Os dois primeiros momentos de $ X $ são:
e