• Lança-se, simultaneamente, uma moeda e um dado. Considere que tanto a moeda quanto o dado são honestos e, portanto, este espaco amostral e equiprovável.
    a) Obtenha a distribuição conjunta das variáveis aleatórias X (número de caras no lançamento da moeda) e Y (número da face do dado voltada para cima);
    b) Obtenha as distribuições marginais de X e de Y.
    c) Verique se X e Y sao independentes;
    d) Calcule, atraves das tabelas, P(X=2, Y=3), P(X=1), P(X<2).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente vai trabalhar com probabilidade, especificamente com distribuição conjunta e marginal de variáveis aleatórias. Precisamos entender como uma moeda e um dado interagem quando lançados ao mesmo tempo. Vou te mostrar passo a passo como resolver cada item.

Passo 2

a) Distribuição conjunta de $ X $ e $ Y $
Primeiro, vamos identificar todas as possíveis combinações dos resultados da moeda e do dado. A moeda pode dar Cara © ou Coroa (K), e o dado pode mostrar qualquer número de 1 a 6.
Como são eventos independentes e equiprováveis, cada combinação tem a mesma probabilidade.
Então, as combinações possíveis são:
  • $ (C,1), (C,2), (C,3), (C,4), (C,5), (C,6) $
  • $ (K,1), (K,2), (K,3), (K,4), (K,5), (K,6) $
Agora, traduzindo para as variáveis $ X $ (número de caras) e $ Y $ (número no dado):
  • Se a moeda dá Cara, $ X = 1 $
  • Se a moeda dá Coroa, $ X = 0 $
Então, a distribuição conjunta fica assim:
$ Y \backslash X $ 0 1
1 1/12 1/12
2 1/12 1/12
3 1/12 1/12
4 1/12 1/12
5 1/12 1/12
6 1/12 1/12
Cada célula representa $ P(X=x, Y=y) $.

Passo 3

b) Distribuições marginais de $ X $ e $ Y $
Distribuição marginal de $ X $:
  • $ P(X=0) $: Probabilidade de dar Coroa. Como há 6 resultados onde $ X=0 $ (C,1) a (C,6), cada um com 1/12, então $ P(X=0) = 6 \times 1/12 = 1/2 $.
  • $ P(X=1) $: Probabilidade de dar Cara. Igual, $ P(X=1) = 6 \times 1/12 = 1/2 $.
Distribuição marginal de $ Y $:
  • Como o dado é justo, cada número de 1 a 6 tem a mesma probabilidade.
  • $ P(Y=y) = 1/6 $ para cada $ y $ de 1 a 6.

Passo 4

c) Verificar se $ X $ e $ Y $ são independentes
Duas variáveis são independentes se $ P(X=x, Y=y) = P(X=x) \times P(Y=y) $ para todos os $ x $ e $ y $.
Vamos verificar:
  • $ P(X=0, Y=1) = 1/12 $
  • $ P(X=0) \times P(Y=1) = (1/2) \times (1/6) = 1/12 $
  • Isso vale para todas as combinações, já que $ 1/12 = 1/2 \times 1/6 $.
Como isso é verdadeiro para todas as combinações, $ X $ e $ Y $ são independentes.

Passo 5

d) Calcular $ P(X=2, Y=3) $, $ P(X=1) $, $ P(X<2) $
Vamos lá:
  • $ P(X=2, Y=3) $:
    • Mas $ X $ representa o número de caras em um único lançamento de moeda, então $ X $ só pode ser 0 ou 1.
    • Logo, $ P(X=2, Y=3) = 0 $, porque $ X=2 $ é impossível.
  • $ P(X=1) $:
    • Já vimos que $ P(X=1) = 1/2 $.
  • $ P(X<2) $:
    • $ X $ pode ser 0 ou 1, então $ P(X<2) = P(X=0) + P(X=1) = 1/2 + 1/2 = 1 $.

Resposta

a) A distribuição conjunta de $ X $ e $ Y $ está na tabela acima.
b) As distribuições marginais são $ P(X=0) = 1/2 $, $ P(X=1) = 1/2 $ e $ P(Y=y) = 1/6 $ para cada $ y $ de 1 a 6.
c) As variáveis $ X $ e $ Y $ são independentes.
d) $ P(X=2, Y=3) = 0 $, $ P(X=1) = 1/2 $ e $ P(X<2) = 1 $.

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