Verique
Cov(a X, Y)=Cov(X, a Y).
  • OBS: considere a uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se Cov(a X, Y) é igual a Cov(X, a Y). Isso está relacionado ao estudo de covariância, que mede como duas variáveis aleatórias mudam juntas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a constante a afeta a covariância entre as variáveis X e Y.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição básica de covariância. A covariância entre duas variáveis U e V é dada por:
Cov(U, V) = E[(U - E[U])(V - E[V])]
onde E representa o valor esperado.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para Cov(a X, Y). Substituindo U por aX e V por Y, temos:
Cov(a X, Y) = E[(aX - E[aX])(Y - E[Y])]

Passo 4

Sabemos que o valor esperado de aX é aE[X]. Então, podemos simplificar a expressão:
Cov(a X, Y) = E[(aX - aE[X])(Y - E[Y])]
= E[a(X - E[X])(Y - E[Y])]

Passo 5

A constante a pode ser fatorada para fora do valor esperado:
Cov(a X, Y) = a cdot E[(X - E[X])(Y - E[Y])]
= a cdot Cov(X, Y)

Passo 6

Agora, vamos calcular Cov(X, a Y). Aplicando a mesma definição:
Cov(X, a Y) = E[(X - E[X])(aY - E[aY])]
= E[(X - E[X])(aY - aE[Y])]
= E[(X - E[X])a(Y - E[Y])]
= a cdot E[(X - E[X])(Y - E[Y])]
= a cdot Cov(X, Y)

Resposta

Assim, mostramos que Cov(a X, Y) = Cov(X, a Y).

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